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| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
Ma = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & a } [/mm] a element von R
a) Begründen Sie, warum die Matrix Ma nur reelle Eigenwerte hat.
b) Bestimmen Sie a e R so, dass Ma den Eigenwert 2 mit algebraischer Vielfachheit 2 besitzt.
c) Bestimmen Sie die Eigenvektoren von Ma zum Paramterwert a aus b). |
a) und b) habe ich gelöst.
a = 4
So, nun zur c)
lambda = 4
(A - 4 * Id3) * x = 0
[mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 } [/mm] = 0
-2*x1 = 0
2*x2 = 0
2*x3 = 0
...ja. Irgendwie läuft es bei mir nicht.
Die richtigen Lösungen lauten:
v1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
v2 ) [mm] \vektor{ 0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Wo liegt mein Fehler?
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Hallo,
> Gegeben sei die Matrix
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> Ma = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & a }[/mm] a
> element von R
>
> a) Begründen Sie, warum die Matrix Ma nur reelle
> Eigenwerte hat.
>
> b) Bestimmen Sie a e R so, dass Ma den Eigenwert 2 mit
> algebraischer Vielfachheit 2 besitzt.
>
> c) Bestimmen Sie die Eigenvektoren von Ma zum Paramterwert
> a aus b).
> a) und b) habe ich gelöst.
> a = 4
>
> So, nun zur c)
>
> lambda = 4
Dein [mm] $\lambda$ [/mm] ist 2. a ist 4.
> (A - 4 * Id3) * x = 0
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 }[/mm]
> = 0
>
> -2*x1 = 0
> 2*x2 = 0
> 2*x3 = 0
>
> ...ja. Irgendwie läuft es bei mir nicht.
> Die richtigen Lösungen lauten:
>
> v1 = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> v2 ) [mm]\vektor{ 0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> Wo liegt mein Fehler?
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Okay, dann habe ich aber so einiges falsch gemacht.
Mein Lösungsweg:
pa(z) = det [mm] \pmat{ 2-z & 0 & 0 \\ 0 & 4-z & 2 \\ 0 & 2 & a-z }
[/mm]
= (2-z) * ( (4-z) * (a-z) -4 ) wenn a = 4
= (2-z) * ( [mm] (4-z)^2 [/mm] - 4 )
=> ( [mm] (z-4)^2+4 [/mm] ) * (z-2)
Daraus habe ich dann die 4 für Lambda abgelesen.
Wo liegt hier dann der Fehler? (Ich fürchte so ziemlich in der ganzen Rechnung....)
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> Okay, dann habe ich aber so einiges falsch gemacht.
>
> Mein Lösungsweg:
>
> pa(z) = det [mm]\pmat{ 2-z & 0 & 0 \\ 0 & 4-z & 2 \\ 0 & 2 & a-z }[/mm]
>
> = (2-z) * ( (4-z) * (a-z) -4 ) wenn a = 4
>
> = (2-z) * ( [mm](4-z)^2[/mm] - 4 )
Bis hierhin ist es richtig.
>
> => ( [mm](z-4)^2+4[/mm] ) * (z-2)
Das ist rein formal schon falsch. Man kann keine Terme folgern, nur Aussagen.
> Daraus habe ich dann die 4 für Lambda abgelesen.
Ich nehme an mit lambda meinst du die Eigenwerte, sprich die Nullstellen des charakt. Polynoms. D.h. neben z=2 sind also die Lösungen von [mm] $(z-4)^2+4=0$ [/mm] gesucht. (4 ist keine, wie man durch Einsetzen sieht). Verwende dazu eine Lösungsmethode deiner Wahl.
> Wo liegt hier dann der Fehler? (Ich fürchte so ziemlich in
> der ganzen Rechnung....)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 So 29.06.2014 | | Autor: | Pingumane |
NULLSTELLEN! Das war das Stichwort. Vielen lieben Dank.
Ein Wort und alles macht wieder Sinn.
Klar, wenn einer der Terme null ist... und 4-2 = [mm] 2^2 [/mm] und 4-4 = 0.... Danke für den Hinweis, das habe ich vollkommen übersehen :)
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