Eigenvektor (0,0,0)? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] M=\pmat{1&0&-1\\1&4&3\\-2&0&2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1=4, \lambda_2=3 [/mm] und [mm] \lambda_3=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] det(AB)=0 und Sp(AB)=7
Bestimmen sie den Eigenraum [mm] E_{\lambda_1} [/mm] und geben sie die geometrische Vielfachheit von [mm] \lambda_1 [/mm] an.
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Mahlzeit.
Ich habe zu einem Eigenwert einen Eigenvektor bestimmt. und der ist (0,0,0).
Kann das sein? Ist der Eigenvektor das gl. vie der Eigenraum?
Des weiteren soll ich eine Aussage über algebraische vielfachheit zu diesem Eigenwert angeben. Hier bräuchte ich auch mal einen Tipp.
Danke.
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> [mm]M=\pmat{1&0&-1\\1&4&3\\-2&0&2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=4, \lambda_2=3[/mm] und [mm]\lambda_3=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] det(AB)=0 und Sp(AB)=7
> Bestimmen sie den Eigenraum [mm]E_{\lambda_1}[/mm] und geben sie
> die geometrische Vielfachheit von [mm]\lambda_1[/mm] an.
>
> Mahlzeit.
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> Ich habe zu einem Eigenwert einen Eigenvektor bestimmt. und
> der ist (0,0,0).
> Kann das sein?
Hallo,
nein, das kann nicht sein - denn Eigenvektoren sind per definitionem [mm] \not=0.
[/mm]
Du hast Dich verrechnet. Rechne einfach nochmal.
Ist der Eigenvektor das gl. vie der
> Eigenraum?
Nein. der Eigenraum zum EW [mm] \lambda [/mm] besteht genau aus den Eigenvektoren zu [mm] \lambda. [/mm] Und es sind Eigenvektoren, welche den Eigenraum aufspannen, vielleicht meinst Du das.
> Des weiteren soll ich eine Aussage über algebraische
> vielfachheit zu diesem Eigenwert angeben. Hier bräuchte ich
> auch mal einen Tipp.
Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes [mm] \lambda [/mm] ist die Potenz, in welcher der Linearfaktor [mm] (x-\lambda) [/mm] im charakteristischen Polynom vorkommt.
Du sollst die algebraische Vielfachheit hier sicher mit der geometrischen vergleichen. Die geometrische ist die Dimension des Eigenraumes zu [mm] \lambda.
[/mm]
Gruß v. Angela
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ok. das hab ich mir schon fast gedacht.
Das problem nur: ich komme auf nichts anderes.
Also [mm] \pmat{1 &0&-1\\1&4&3\\-2&0&2}-\pmat{4&0&0\\0&4&0\\0&0&4}=\pmat{-3&0&-1\\1&0&3\\-2&0&-2}
[/mm]
nun bestimmt man die Eigenvektoren doch indem man [mm] \pmat{-3&0&-1\\1&0&3\\-2&0&-2} \vektor{x\\y\\z}=0 [/mm] bestimmt.
und da komme ich nur auf x=y=z=0. Oder was mache ich falsch. (Es besteht event. auch die Möglichkeit das [mm] \lambda [/mm] falsch ist)
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Hallo pleaselook,
Eigenwerte und Ansatz ur Berechnung der EV stimmen.
schreibe die erweiterte Koeffizientenmatrix hin und löse mit Gauß:
[mm] \pmat{-3&0&-1& | & 0\\1&0&3& | & 0\\-2&0&-2& | & 0}
[/mm]
Hier kannst du die 1.Zeile zum 3-fachen der 2.Zeile addieren und das 2-fache der 1.Zeile zum (-3)-fachen der 3.Zeile
Das gibt:
[mm] \pmat{-3&0&-1& | 0 \\0&0&8& | & 0\\0&0&4& | & 0}
[/mm]
Hier nun das [mm] -\frac{1}{2}-fache [/mm] der 2.Zeile zur 3.Zeile addieren und dann 2.Zeile [mm] \cdot{}\frac{1}{8} [/mm] und du bekommst ne Nullzeile:
[mm] \pmat{-3&0&-1& | & 0 \\ 0&0&1& | & 0\\0&0&0& | & 0}
[/mm]
Hier hast du also eine frei wählbare Lösungsvariable, nehmen wir [mm] x_2:=t [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Dann ist mit Zeile 2: [mm] x_3=0 [/mm] und mit Zeile 1: [mm] -3x_1=0\Rightarrow x_1=0
[/mm]
Also sind die Lösngsvektoren (also die Vektoren aus dem [mm] Kern(A-4\cdot{}\mathbb{E}_3)=Eig(\lambda=4)) [/mm] genau die Vektoren der Gestalt
[mm] \vektor{0\\t\\0}=t\cdot{}\vektor{0\\1\\0} [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Also ist der Eigenraum zu [mm] \lambda=4 [/mm]
[mm] <\vektor{0\\1\\0}>
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ok. Danke ersmal für die zügigen Antworten.
Nur um das jetzt nochmal zusammen zufassen:
- die algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda_1 [/mm] =4 ist 1, weil einfache NS in charakt. Polynom
- die geometrische Vielfachheit vom [mm] \lambda_1 [/mm] ist 1, weil [mm] dim(Eig(\lambda_1))=1
[/mm]
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Hi,
> Ok. Danke ersmal für die zügigen Antworten.
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> Nur um das jetzt nochmal zusammen zufassen:
>
> - die algebraische Vielfachheit von [mm]\lambda_1[/mm] =4 ist 1,
> weil einfache NS in charakt. Polynom
> - die geometrische Vielfachheit vom [mm]\lambda_1[/mm] ist 1, weil
> [mm]dim(Eig(\lambda_1))=1[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
genau so ...
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Gruß
schachuzipus
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