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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Di 16.06.2009 | | Autor: | hopsie |
| Aufgabe | Sei $ A $ ein Ring und seien $ I, J [mm] \subseteq [/mm] A $ Ideale. Dann gilt:
(i) $ r(IJ) = r(I [mm] \cap [/mm] J) $
(ii) $ r(I+J) = r(r(I)+r(J)) $
wobei $ r(I) = [mm] \{a \in A | a^{n} \in I $ für ein $ n>0 \} [/mm] $ das Radikal von I ist. |
Hallo zusammen,
also für die (i) hab ich folgendes gemacht
"$ r(I [mm] \cap [/mm] J) [mm] \subseteq [/mm] r(IJ) $": Sei x [mm] \in [/mm] r(I [mm] \cap [/mm] J), d.h. [mm] \exists [/mm] n, m >0 so dass: [mm] x^{n} \in [/mm] I, [mm] x^{m} \in [/mm] I [mm] \Rightarrow x^{n+m} [/mm] = [mm] x^{n}*x^{m} \in [/mm] IJ [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] r(IJ). Das glaub ich zumindest stimmt soweit.
Für die andere Richtung "$ r(IJ) [mm] \subseteq [/mm] r(I [mm] \cap [/mm] J) $": Sei x [mm] \in [/mm] r(IJ), d.h. [mm] \exists [/mm] n>0 : [mm] x^{n} \in [/mm] IJ [mm] \Rightarrow \exists [/mm] k,l : n=k+l, [mm] x^{n} [/mm] = [mm] x^{k}*x^{l} \in [/mm] IJ [mm] \Rightarrow x^{k} \in [/mm] I, [mm] x^{l} \in [/mm] J, d.h. x [mm] \in [/mm] r(I [mm] \cap [/mm] J). Hier bin ich mir nicht so sicher, ob das stimmt...
und nun zur (ii): Wir haben schon bewiesen, dass gilt I [mm] \subseteq [/mm] r(I) und r(r(I)) = r(I), und dies sollen wir verwenden, um die (ii) zu beweisen.
Mein Versuch: Da I [mm] \subseteq [/mm] r(I), J [mm] \subseteq [/mm] r(J) [mm] \Rightarrow [/mm] I+J [mm] \subseteq [/mm] r(I)+r(J) und hier bin ich mir überhaupt nicht sicher, ob das stimmt.
Und wenn das stimmt, hab ich so weitergemacht, dass ich auf die letzte Beziehung einfach das Radikal angewendet habe, also würde folgen: r(I+J) [mm] \subseteq [/mm] r(r(I)+r(J)). Wenn man das darf, warum darf man das??
Für die Rückrichtung weiß ich leider gar nicht, wie ich anfangen soll...
Vielen Dank schonmal für die Hilfe,
Viele Grüße, hopsie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Mi 17.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo hopsie!
> Sei [mm]A[/mm] ein Ring und seien [mm]I, J \subseteq A[/mm] Ideale. Dann
> gilt:
> (i) [mm]r(IJ) = r(I \cap J)[/mm]
> (ii) [mm]r(I+J) = r(r(I)+r(J))[/mm]
> wobei
> [mm]r(I) = \{a \in A | a^{n} \in I[/mm] für ein [mm]n>0 \}[/mm] das Radikal
> von I ist.
> Hallo zusammen,
>
> also für die (i) hab ich folgendes gemacht
>
> "[mm] r(I \cap J) \subseteq r(IJ) [/mm]": Sei x [mm]\in[/mm] r(I [mm]\cap[/mm] J),
> d.h. [mm]\exists[/mm] n, m >0 so dass: [mm]x^{n} \in[/mm] I, [mm]x^{m} \in[/mm] I
Das $I$ am Ende der Zeile soll ein $J$ sein, oder?
> [mm]\Rightarrow x^{n+m}[/mm] = [mm]x^{n}*x^{m} \in[/mm] IJ [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm]
> r(IJ). Das glaub ich zumindest stimmt soweit.
Ja.
> Für die andere Richtung "[mm] r(IJ) \subseteq r(I \cap J) [/mm]":
Das ist eigentlich die einfache Richtung: es gilt naemlich $I J [mm] \subseteq [/mm] I [mm] \cap [/mm] J$ (warum?).
> Sei x [mm]\in[/mm] r(IJ), d.h. [mm]\exists[/mm] n>0 : [mm]x^{n} \in[/mm] IJ
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] k,l : n=k+l, [mm]x^{n}[/mm] = [mm]x^{k}*x^{l} \in[/mm] IJ
Na klar, das geht immer, du kannst etwa $k = 0$ und $l = n$ waehlen. Aber das willst du nicht, da dann [mm] $x^k [/mm] = 1$ nur in $I$ liegt, wenn $I = A$ ist.
> [mm]\Rightarrow x^{k} \in[/mm] I, [mm]x^{l} \in[/mm] J,
Warum sollte das gelten? Das stimmt naemlich nicht.
> d.h. x [mm]\in[/mm] r(I [mm]\cap[/mm]
> J). Hier bin ich mir nicht so sicher, ob das stimmt...
>
> und nun zur (ii): Wir haben schon bewiesen, dass gilt I
> [mm]\subseteq[/mm] r(I) und r(r(I)) = r(I), und dies sollen wir
> verwenden, um die (ii) zu beweisen.
Ok.
> Mein Versuch: Da I [mm]\subseteq[/mm] r(I), J [mm]\subseteq[/mm] r(J)
> [mm]\Rightarrow[/mm] I+J [mm]\subseteq[/mm] r(I)+r(J) und hier bin ich mir
> überhaupt nicht sicher, ob das stimmt.
Doch, das stimmt. Wenn du dir nicht sicher bist, solltest du das aber beweisen. Und zwar ganz allgemein: seien $I, I', J, J'$ Ideale mit $I [mm] \subseteq [/mm] I'$, $J [mm] \subseteq [/mm] J'$. Dann gilt $I + J [mm] \subseteq [/mm] I' + J'$.
> Und wenn das stimmt, hab ich so weitergemacht, dass ich auf
> die letzte Beziehung einfach das Radikal angewendet habe,
> also würde folgen: r(I+J) [mm]\subseteq[/mm] r(r(I)+r(J)). Wenn man
> das darf, warum darf man das??
Das darf man. Und warum man das darf: schau dir die Definition von $r$ an. Gilt $I [mm] \subseteq [/mm] J$, so musst du $r(I) [mm] \subseteq [/mm] r(J)$ folgern. Das geht ganz einfach, also mach es doch mal :)
> Für die Rückrichtung weiß ich leider gar nicht, wie ich
> anfangen soll...
Nun, sei $x [mm] \in [/mm] r(r(I) + r(J))$. Dann gibt es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $x^n [/mm] = a + b$ mit $a [mm] \in [/mm] r(I)$, $b [mm] \in [/mm] r(J)$. Folglich gibt es auch $k, l$ mit [mm] $a^k \in [/mm] I$ und [mm] $b^l \in [/mm] J$.
Damit ist [mm] $x^{n (k + l)} [/mm] = (a + [mm] b)^{k + l} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{k+l} \binom{k + l}{i} a^i b^{k + l}$.
[/mm]
Kannst du diese Summe nun aufteilen, das die eine (grobe) Haelfte der Summanden in $I$ liegt und die andere in $J$?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Mi 17.06.2009 | | Autor: | hopsie |
> > Für die andere Richtung "[mm] r(IJ) \subseteq r(I \cap J) [/mm]":
>
> Das ist eigentlich die einfache Richtung: es gilt naemlich
> [mm]I J \subseteq I \cap J[/mm] (warum?).
ja richtig!... Das gilt, denn:
Sei $ x [mm] \in [/mm] IJ $. Dann $ x= [mm] \summe_{i}^{} x_{i}y{i} [/mm] $ mit $ [mm] x_{i} \in [/mm] I $ und $ [mm] y_{i} \in [/mm] J $. Da jeder Summand sowohl in I als auch in J entahlten ist (da I, J Ideale) liegt jeder Summand im Schnitt und da Ideal abg bzgl Addition, liegt die Summe im Schnitt, d.h. $ x [mm] \in [/mm] I [mm] \cap [/mm] J $.
> > Sei x [mm]\in[/mm] r(IJ), d.h. [mm]\exists[/mm] n>0 : [mm]x^{n} \in[/mm] IJ
> > [mm]\Rightarrow \exists[/mm] k,l : n=k+l, [mm]x^{n}[/mm] = [mm]x^{k}*x^{l} \in[/mm] IJ
>
> Na klar, das geht immer, du kannst etwa [mm]k = 0[/mm] und [mm]l = n[/mm]
> waehlen. Aber das willst du nicht, da dann [mm]x^k = 1[/mm] nur in [mm]I[/mm]
> liegt, wenn [mm]I = A[/mm] ist.
>
> > [mm]\Rightarrow x^{k} \in[/mm] I, [mm]x^{l} \in[/mm] J,
>
> Warum sollte das gelten? Das stimmt naemlich nicht.
Ja, das dacht ich mir schon, dass das nicht gilt...
>
> > d.h. x [mm]\in[/mm] r(I [mm]\cap[/mm]
> > J). Hier bin ich mir nicht so sicher, ob das stimmt...
> >
> > und nun zur (ii): Wir haben schon bewiesen, dass gilt I
> > [mm]\subseteq[/mm] r(I) und r(r(I)) = r(I), und dies sollen wir
> > verwenden, um die (ii) zu beweisen.
>
> Ok.
>
> > Mein Versuch: Da I [mm]\subseteq[/mm] r(I), J [mm]\subseteq[/mm] r(J)
> > [mm]\Rightarrow[/mm] I+J [mm]\subseteq[/mm] r(I)+r(J) und hier bin ich mir
> > überhaupt nicht sicher, ob das stimmt.
>
> Doch, das stimmt. Wenn du dir nicht sicher bist, solltest
> du das aber beweisen. Und zwar ganz allgemein: seien [mm]I, I', J, J'[/mm]
> Ideale mit [mm]I \subseteq I'[/mm], [mm]J \subseteq J'[/mm]. Dann gilt [mm]I + J \subseteq I' + J'[/mm].
Ok. Also Seien $ I,I',J,J' $ Ideale mit $ I [mm] \subseteq [/mm] I' $ und $ J [mm] \subseteq [/mm] J' $. Sei $ x [mm] \in [/mm] I+J $, d.h. $ [mm] \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I, j [mm] \in [/mm] J: x=i+j $. Da $ I [mm] \subseteq [/mm] I', j [mm] \subseteq [/mm] J' $ ist auch $i [mm] \in [/mm] I', j [mm] \in [/mm] J' $, d.h. $ x = i+j [mm] \in [/mm] I'+J' $.
>
> > Und wenn das stimmt, hab ich so weitergemacht, dass ich auf
> > die letzte Beziehung einfach das Radikal angewendet habe,
> > also würde folgen: r(I+J) [mm]\subseteq[/mm] r(r(I)+r(J)). Wenn man
> > das darf, warum darf man das??
>
> Das darf man. Und warum man das darf: schau dir die
> Definition von [mm]r[/mm] an. Gilt [mm]I \subseteq J[/mm], so musst du [mm]r(I) \subseteq r(J)[/mm]
> folgern. Das geht ganz einfach, also mach es doch mal :)
Ok. Sei $ I [mm] \subseteq [/mm] J $ . Sei $ x [mm] \in [/mm] r(I) $, d.h. $ [mm] \exists [/mm] n>0 : [mm] x^{n} \in [/mm] I [mm] \subseteq [/mm] J $, also $ [mm] x^{n} \in [/mm] J $, d.h. $ [mm] x^{n}\in [/mm] r(J) $.
>
> > Für die Rückrichtung weiß ich leider gar nicht, wie ich
> > anfangen soll...
>
> Nun, sei [mm]x \in r(r(I) + r(J))[/mm]. Dann gibt es ein [mm]n \in \IN[/mm]
> mit [mm]x^n = a + b[/mm] mit [mm]a \in r(I)[/mm], [mm]b \in r(J)[/mm]. Folglich gibt
> es auch [mm]k, l[/mm] mit [mm]a^k \in I[/mm] und [mm]b^l \in J[/mm].
>
> Damit ist [mm]x^{n (k + l)} = (a + b)^{k + l} = \sum_{i=0}^{k+l} \binom{k + l}{i} a^i b^{k + l}[/mm].
>
> Kannst du diese Summe nun aufteilen, das die eine (grobe)
> Haelfte der Summanden in [mm]I[/mm] liegt und die andere in [mm]J[/mm]?
Also ich fang mal an:
$ [mm] \sum_{i=0}^{k+l} \binom{k + l}{i} a^i b^{k + l - i} [/mm] = [mm] b^{k+l} [/mm] + (k+l) [mm] *a*b^{k+l-1} [/mm] + ... + [mm] \binom{k+l}{l}a^{l}b^{k} [/mm] + [mm] \binom{k+l}{l+1}a^{l+1}b^{k-1} [/mm] + ... + [mm] a^{k+l} [/mm] $
Also die erste Hälfte der Summanden liegt in J, da im jedem Summand der Faktor $ [mm] b^{k} [/mm] $ vorkommt, und J abgeschlossen über Multiplikation mit Elementen aus dem Ring ist, der in der Mitte liegt in J und in I und die zweite Hälfte liegt aus dem gleichen Grund in I. Also liegt die Summe in $ J + I $, also liegt $ x [mm] \in [/mm] r(J+I) $ .
Vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort!!
LG, hospie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mi 17.06.2009 | | Autor: | felixf |
Moin hopsie!
> ja richtig!... Das gilt, denn:
> Sei [mm]x \in IJ [/mm]. Dann [mm]x= \summe_{i}^{} x_{i}y{i}[/mm] mit [mm]x_{i} \in I[/mm]
> und [mm]y_{i} \in J [/mm]. Da jeder Summand sowohl in I als auch in
> J entahlten ist (da I, J Ideale) liegt jeder Summand im
> Schnitt und da Ideal abg bzgl Addition, liegt die Summe im
> Schnitt, d.h. [mm]x \in I \cap J [/mm].
Genau.
> Ok. Also Seien [mm]I,I',J,J'[/mm] Ideale mit [mm]I \subseteq I'[/mm] und [mm]J \subseteq J' [/mm].
> Sei [mm]x \in I+J [/mm], d.h. [mm]\exists i \in I, j \in J: x=i+j [/mm]. Da [mm]I \subseteq I', j \subseteq J'[/mm]
> ist auch [mm]i \in I', j \in J' [/mm], d.h. [mm]x = i+j \in I'+J' [/mm].
Genau.
> Ok. Sei [mm]I \subseteq J[/mm] . Sei [mm]x \in r(I) [/mm], d.h. [mm]\exists n>0 : x^{n} \in I \subseteq J [/mm],
> also [mm]x^{n} \in J [/mm], d.h. [mm]x^{n}\in r(J) [/mm].
Genau.
> Also ich fang mal an:
> [mm]\sum_{i=0}^{k+l} \binom{k + l}{i} a^i b^{k + l - i} = b^{k+l} + (k+l) *a*b^{k+l-1} + ... + \binom{k+l}{l}a^{l}b^{k} + \binom{k+l}{l+1}a^{l+1}b^{k-1} + ... + a^{k+l}[/mm]
>
> Also die erste Hälfte der Summanden liegt in J, da im jedem
> Summand der Faktor [mm]b^{k}[/mm] vorkommt, und J abgeschlossen über
> Multiplikation mit Elementen aus dem Ring ist, der in der
> Mitte liegt in J und in I und die zweite Hälfte liegt aus
> dem gleichen Grund in I. Also liegt die Summe in [mm]J + I [/mm],
> also liegt [mm]x \in r(J+I)[/mm] .
Ja, das stimmt ebenfalls :)
LG Felix
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