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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Di 15.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Seien a, b, c [mm] \in [/mm] R. Welche der folgenden Aussagen sind allgemeingültig, welche im Allgemeinen falsch?
(1) a > b [mm] \Rightarrow \bruch{1}{a}<\bruch{1}{b}, [/mm] für a, b [mm] \not= [/mm] 0
(2) |a − b| + |a + b| = 2a [mm] \gdw [/mm] a = b
(3) |a − b| < c [mm] \Rightarrow [/mm] a > b − 2c
(4) a(a − [mm] 2b^2) [/mm] > 0 [mm] \gdw [/mm] |b − [mm] a^2| [/mm] > [mm] a^2
[/mm]
Beweisen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel an! |
(1) Wahr, da gilt:
[mm] \begin{matrix}
a>b&=& |*\bruch{1}{a}\\
1>\bruch{b}{a} & =& |*\bruch{1}{b}\\
\bruch{1}{b}>\bruch{1}{a}
\end{matrix}
[/mm]
(2) falsch, da für b=0 gilt:
|a − 0| + |a + 0| = 2a [mm] \forall a\in\IR
[/mm]
aber wie zeige oder widerlege ich (3) und (4) ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Zerwas.
> Seien a, b, c [mm]\in[/mm] R. Welche der folgenden Aussagen sind
> allgemeingültig, welche im Allgemeinen falsch?
> (1) a > b [mm]\Rightarrow \bruch{1}{a}<\bruch{1}{b},[/mm] für a, b
> [mm]\not=[/mm] 0
> (2) |a − b| + |a + b| = 2a [mm]\gdw[/mm] a = b
> (3) |a − b| < c [mm]\Rightarrow[/mm] a > b − 2c
> (4) a(a − [mm]2b^2)[/mm] > 0 [mm]\gdw[/mm] |b − [mm]a^2|[/mm] > [mm]a^2[/mm]
> Beweisen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel an!
> (1) Wahr, da gilt:
> [mm]\begin{matrix}
a>b&=& |*\bruch{1}{a}\\
1>\bruch{b}{a} & =& |*\bruch{1}{b}\\
\bruch{1}{b}>\bruch{1}{a}
\end{matrix}[/mm]
Und was ist, wenn $a < 0$ ist? Oder $b < 0$? Oder beide?
> (2) falsch, da für b=0 gilt:
> |a − 0| + |a + 0| = 2a [mm]\forall a\in\IR[/mm]
Fuer $a < 0$ gilt das sicher nicht. Und fuer $a = 0$ gibt es keinen Widerspruch. Aber fuer $a > 0$ schon.
Zu (3): Das ist wahr. Dazu ueberleg dir, dass $|x| < c$ und $-c < x < c$ fuer alle $x, c [mm] \in \IR$ [/mm] aequivalent sind.
Zu (4): Setze $a = 0$ und waehle ein passendes $b$, um einen Widerspruch zu finden.
LG Felix
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