Eigenschaften des Funktionals < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Do 14.04.2011 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Es seien V ein linearer Raum, [mm] K\subset [/mm] V ein konvexer Kegel mit [mm] 0\in [/mm] K und [mm] k\in [/mm] K\ (-K). Zu zeigen ist: Das Funktional [mm] \phi: V\rightarrow\IR\cup\{\pm\infty\}, [/mm] definiert durch
[mm] \phi(v):=inf\{t\in\IR: tk\in v+K\} [/mm]
ist (a) positiv homogen, (b) subadditiv, (c) konvex und (d) linear auf dem durch k aufgespannten eindimensionalen Teilraum von V, insbesondere ist [mm] \phi(0)=0. [/mm] Weiterhin gilt: [mm] \forall v\in [/mm] V, [mm] \forall r\in\IR:\phi(v+rk)=\phi(v)+r.
[/mm]
Diskutiere die Fälle [mm] \phi(v)=\infty [/mm] und [mm] \phi(v)=-\infty! [/mm] |
Hallo,
ich kann zwar etwas mit den einzelnen Begriffen anfangen, habe aber beim Zeigen dieser Begriffe Probleme.
Bei der positiven Homogenität bin ich zum Beispiel bei
[mm] \alpha*\phi(v)=inf\{\bruch{t}{\alpha}\in\IR: \bruch{t}{\alpha}k\in \alpha*v+\alpha*K\} [/mm] stecken geblieben. Das [mm] \alpha [/mm] vor dem K stört mich, da [mm] \alpha*K \subseteq [/mm] K ist und nicht = K.
Bei den anderen komme ich ebenfalls nicht weiter.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Fr 15.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es seien V ein linearer Raum, [mm]K\subset[/mm] V ein konvexer Kegel
> mit [mm]0\in[/mm] K und [mm]k\in[/mm] K\ (-K). Zu zeigen ist: Das Funktional
> [mm]\phi: V\rightarrow\IR\cup\{\pm\infty\},[/mm] definiert durch
>
> [mm]\phi(v):=inf\{t\in\IR: tk\in v+K\}[/mm]
>
> ist (a) positiv homogen, (b) subadditiv, (c) konvex und (d)
> linear auf dem durch k aufgespannten eindimensionalen
> Teilraum von V, insbesondere ist [mm]\phi(0)=0.[/mm] Weiterhin gilt:
> [mm]\forall v\in[/mm] V, [mm]\forall r\in\IR:\phi(v+rk)=\phi(v)+r.[/mm]
>
> Diskutiere die Fälle [mm]\phi(v)=\infty[/mm] und [mm]\phi(v)=-\infty![/mm]
> Hallo,
>
> ich kann zwar etwas mit den einzelnen Begriffen anfangen,
> habe aber beim Zeigen dieser Begriffe Probleme.
>
> Bei der positiven Homogenität bin ich zum Beispiel bei
>
> [mm]\alpha*\phi(v)=inf\{\bruch{t}{\alpha}\in\IR: \bruch{t}{\alpha}k\in \alpha*v+\alpha*K\}[/mm]
Das ist doch Unsinn !!
Es ist
$ [mm] \phi(\alpha*v):=inf\{t\in\IR: tk\in \alpha*v+K\} [/mm] $ Nun zeige für positives [mm] \alpha:
[/mm]
$ [mm] \phi(\alpha*v)= \alpha* \phi(v)$
[/mm]
FRED
> stecken geblieben. Das [mm]\alpha[/mm] vor dem K stört mich, da
> [mm]\alpha*K \subseteq[/mm] K ist und nicht = K.
>
> Bei den anderen komme ich ebenfalls nicht weiter.
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar.
>
> Gruß
>
> DerGraf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Fr 15.04.2011 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Fred,
ich habe mich mal an deinem Ansatz versucht, komme aber nicht wirklich weiter:
[mm] \phi(\alpha\cdot{}v)
[/mm]
[mm] =inf\{t\in\IR: tk\in \alpha\cdot{}v+K\} [/mm]
[mm] =inf\{t\in\IR: \bruch{t}{\alpha}k\in v+\bruch{1}{\alpha}\cdot K\} [/mm]
[mm] =\alpha\cdot inf\{\bruch{t}{\alpha}\in\IR: \bruch{t}{\alpha}k\in v+\bruch{1}{\alpha}\cdot K\} [/mm]
Setze [mm] z=\bruch{t}{\alpha}:
[/mm]
[mm] \alpha\cdot inf\{\bruch{t}{\alpha}\in\IR: \bruch{t}{\alpha}k\in v+\bruch{1}{\alpha}\cdot K\}
[/mm]
[mm] =\alpha\cdot inf\{z\in\IR: z\cdot k\in v+\bruch{1}{\alpha}\cdot K\}
[/mm]
Und schon stehe ich wieder vor dem gleichen Problem.
Wo ist der Fehler?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Fr 15.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei t [mm] \in \IR [/mm] mit
(*) $tk [mm] \in \alpha*v+K$
[/mm]
Setze $s:=t/ [mm] \alpha$. [/mm] Dann ist $sk [mm] \in [/mm] v+ [mm] \bruch{1}{\alpha}K \subseteq [/mm] v+K$. Damit ist
$ [mm] \phi(v) \le [/mm] s = t/ [mm] \alpha$.
[/mm]
Somit ist $ [mm] \alpha* \phi(v) \le [/mm] t$.
t war beliebig mit (*), somit:
$ [mm] \alpha* \phi(v) \le \phi( \alpha*v)$.
[/mm]
Jetzt zeig Du die umgekehrte Ungl.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Fr 15.04.2011 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Fred,
danke für deine Hilfe. Zu der anderen Richtung hatte ich folgende Idee:
[mm] $\alpha*\phi(v)=\alpha\cdot inf\{t\in\IR: tk\in v+K\}=inf\{\alpha\cdot t\in\IR: tk\in v+K\}=inf\{\alpha\cdot t\in\IR: \alpha\cdot tk\in \alpha\cdot v+\alpha\cdot K\}\ge inf\{\alpha\cdot t\in\IR: \alpha\cdot tk\in \alpha\cdot v+K\}=\phi(\alpha\cdot [/mm] v)$
Passt die Rechnung so?
Gruß
DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 17.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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