Eigenschaften des Abschlusses < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:54 Mi 10.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | (X, [mm] \tau) [/mm] topologischer Raum
Für Teilmenge A,B [mm] \subseteq [/mm] X:
i) A [mm] \subseteq [/mm] B => [mm] \overline{A} \subseteq \overline{B}
[/mm]
ii) [mm] \overline{\overline{A}} [/mm] = [mm] \overline{A}
[/mm]
iii) [mm] \overline{A \cup B} [/mm] = [mm] \overline{A} \cup \overline{B}
[/mm]
iv) A Abgeschlossen <=> [mm] \overline{A} [/mm] =A |
Hallo)
Paar sachen sind mir nicht 100% klar
i) Sei y [mm] \in \overline{A} [/mm] = [mm] \bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq A} [/mm] F
da A [mm] \subseteq [/mm] F gilt y [mm] \in [/mm] A -> y [mm] \in [/mm] B -> y [mm] \in [/mm] F [mm] \supseteq [/mm] B für alle abgeschlossenen F -> y [mm] \in \bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq B} [/mm] F = [mm] \overline{B}
[/mm]
Ist das okey?
ii) ist für mich klar
iii) [mm] \overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B} [/mm] ist für mich klar.
Aber die umgekehrte Inklusion nicht!
[mm] \overline{A \cup B} [/mm] = [mm] \bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq (A \cup B)} [/mm] F [mm] =\bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq A} [/mm] F [mm] \cup \bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq B} [/mm] F
Dabei würde man ja die Teilmengen im Durchschnitt von A und B doppelt nehmen, aber bei der vereinigung ist dass dann doch egal oder?
Überhaupt hab ich da etwas probleme das letzte = Zeichen zu erklären. Muss man da dieselben abgeschlossenen Mengen F nehmen?
iv)
=> klar für mich
<=
[mm] \overline{A} [/mm] =A
[mm] A=\bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq A} [/mm] F
Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen die A enthalten ist A.
Ich weiß nicht wie ich dann argumentieren kann, dass A abgeschlossen ist! Es ist mir intuitiv klar, dass die abgeschlossenen F's dann nicht mehr als A sein können - mir fehlt hier die mathematische Erklärung!
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Hallo,
> (X, [mm]\tau)[/mm] topologischer Raum
> Für Teilmenge A,B [mm]\subseteq[/mm] X:
> i) A [mm]\subseteq[/mm] B => [mm]\overline{A} \subseteq \overline{B}[/mm]
>
> ii) [mm]\overline{\overline{A}}[/mm] = [mm]\overline{A}[/mm]
> iii) [mm]\overline{A \cup B}[/mm] = [mm]\overline{A} \cup \overline{B}[/mm]
>
> iv) A Abgeschlossen <=> [mm]\overline{A}[/mm] =A
> i) Sei y [mm]\in \overline{A}[/mm] = [mm]\bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq A}[/mm]
> F
> da A [mm]\subseteq[/mm] F gilt y [mm]\in[/mm] A
Nein, das gilt nicht. $y [mm] \in [/mm] A$ muss nicht gelten.
-> y [mm]\in[/mm] B -> y [mm]\in[/mm] F
> [mm]\supseteq[/mm] B für alle abgeschlossenen F -> y [mm]\in \bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq B}[/mm]
> F = [mm]\overline{B}[/mm]
> Ist das okey?
Nein, das ist so noch nicht OK. Da der Beweis elementar ist, muss es schon 100% stimmen. Und gerade deine zweite Zeile ist noch nicht so klar.
Beginne so:
Ist $y [mm] \in \overline{A}$, [/mm] dann gilt für ALLE abgeschlossenen $F [mm] \supset [/mm] A$, dass $y [mm] \in [/mm] F$ (Def. vom Durchschnitt).
Sei nun $F$ abgeschlossen mit $F [mm] \supset [/mm] B$.
Dann ist wegen $A [mm] \subset [/mm] B$ auch $F [mm] \supset [/mm] A$. Damit ist $y [mm] \in [/mm] F$.
Def. vom Durchschnitt --> $y [mm] \in \overline{B}$.
[/mm]
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> iii) [mm]\overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B}[/mm]
> ist für mich klar.
> Aber die umgekehrte Inklusion nicht!
> [mm]\overline{A \cup B}[/mm] = [mm]\bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq (A \cup B)}[/mm]
> F [mm]=\bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq A}[/mm] F [mm]\cup \bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq B}[/mm]
> F
Die Gleichungskette ist etwas "kurz". Für einen elementaren Beweis solltest du das ausformulieren. (oder mehr begründen)
> Überhaupt hab ich da etwas probleme das letzte = Zeichen
> zu erklären. Muss man da dieselben abgeschlossenen Mengen
> F nehmen?
Es geht viel einfacher: Es ist doch [mm] $F:=\overline{A} \cup \overline{B}$ [/mm] abgeschlossen, und $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subset [/mm] F$. Damit taucht F in dem Durchschnitt
[mm] \overline{A \cup B} [/mm] = [mm] \bigcap_{F abgeschlossen, F \supset A \cup B} [/mm] F
auf. Es folgt [mm] $\overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}$.
[/mm]
> iv)
> => klar für mich
> <=
> [mm]\overline{A}[/mm] =A
> [mm]A=\bigcap_{F abgeschlossen,F \supseteq A}[/mm] F
> Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen die A
> enthalten ist A.
> Ich weiß nicht wie ich dann argumentieren kann, dass A
> abgeschlossen ist! Es ist mir intuitiv klar, dass die
> abgeschlossenen F's dann nicht mehr als A sein können -
> mir fehlt hier die mathematische Erklärung!
Benutze doch die Def. von abgeschlossen.
D.h. zeige, dass $X [mm] \backslash [/mm] A = X [mm] \backslash \overline{A}$ [/mm] offen ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:20 Mi 10.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo, danke
> Beginne so:
> Ist $ y [mm] \in \overline{A} [/mm] $, dann gilt für ALLE abgeschlossenen $ F [mm] \supset [/mm] A $, dass $ y [mm] \in [/mm] F $ (Def. vom Durchschnitt).
> Sei nun $ F $ abgeschlossen mit $ F [mm] \supset [/mm] B $.
> Dann ist wegen $ A [mm] \subset [/mm] B $ auch $ F [mm] \supset [/mm] A $. Damit ist $ y [mm] \in [/mm] F $.
> Def. vom Durchschnitt --> $ y [mm] \in \overline{B} [/mm] $.
Mich verwirrt hier, dass du die Bezeichnung F für 2 verschiedene Dinge nimmst.
Gehören da nicht verschiedene bezeichungen hin?(da du vor dem beweis nicht die gleichheit weißt)
Also: Ist $ y [mm] \in \overline{A} [/mm] $das heißt für alle abgeschlossenen $ F [mm] \supset [/mm] A $, dass $ y [mm] \in [/mm] F $ (Def. vom Durchschnitt).
Sei T abgeschlossen mit T [mm] \supset [/mm] B -> T [mm] \supset [/mm] A
-> T [mm] \supset [/mm] F
Aber dann geht der beweis nicht auf ?
Du siehst ich hab den Beweis für mich noch nicht "akzeptiert" (obwohl ich nicht an der Richtigkeit zweifle, aber sie ist für mich noch nicht offensichtlich)
> Es geht viel einfacher: Es ist doch $ [mm] F:=\overline{A} \cup \overline{B} [/mm] $ abgeschlossen, und $ A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subset [/mm] F $. Damit taucht F in dem Durchschnitt
> $ [mm] \overline{A \cup B} [/mm] $ = $ [mm] \bigcap_{F abgeschlossen, F \supset A \cup B} [/mm] $ F
> auf. Es folgt $ [mm] \overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] $.
Ah, supa. Das würde ich dann so bezeichnen, dass du die minimalität des Abschlusses verwendest, richtig?
> Benutze doch die Def. von abgeschlossen.
> D.h. zeige, dass $ X [mm] \backslash [/mm] A = X [mm] \backslash \overline{A} [/mm] $ offen ist.
Dann ist es ja trivial. da [mm] \overline{A} [/mm] abgeschlossen ist , ist X \ [mm] \overline{A} [/mm] offen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:11 Mi 10.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> > Beginne so:
>
> > Ist [mm]y \in \overline{A} [/mm], dann gilt für ALLE
> abgeschlossenen [mm]F \supset A [/mm], dass [mm]y \in F[/mm] (Def. vom
> Durchschnitt).
>
> > Sei nun [mm]F[/mm] abgeschlossen mit [mm]F \supset B [/mm].
> > Dann ist
> wegen [mm]A \subset B[/mm] auch [mm]F \supset A [/mm]. Damit ist [mm]y \in F [/mm].
>
> > Def. vom Durchschnitt --> [mm]y \in \overline{B} [/mm].
> Mich verwirrt hier, dass du die Bezeichnung F für 2
> verschiedene Dinge nimmst.
> Gehören da nicht verschiedene bezeichungen hin?(da du vor
> dem beweis nicht die gleichheit weißt)
Aus meiner Sicht ist an beiden Stellen klar, was F jeweils bezeichnet. Aber verschiedene Bezeichnungen sind vielleicht wirklich übersichtlicher.
> Also: Ist [mm]y \in \overline{A} [/mm]das heißt für alle
> abgeschlossenen [mm]F \supset A [/mm], dass [mm]y \in F[/mm] (Def. vom
> Durchschnitt).
Bezeichne (*) die Aussage
[mm] $y\in [/mm] F$ für alle abgeschlossenen [mm] $F\supset [/mm] A$.
> Sei T abgeschlossen mit T [mm]\supset[/mm] B -> T [mm]\supset[/mm] A
> -> T [mm]\supset[/mm] F
Was bezeichnest du hier mit $F$? Warum soll [mm] $T\supset [/mm] F$ gelten?
Wegen [mm] $T\supset [/mm] A$ und $T$ abgeschlossen können wir (*) auf $F:=T$ anwenden und erhalten so [mm] $y\in [/mm] F=T$.
> Aber dann geht der beweis nicht auf ?
Wir haben für beliebig vorgegebenes [mm] $y\in\overline{A}$ [/mm] gezeigt, dass für beliebig vorgegebenes abgeschlossenes [mm] $T\supset [/mm] B$ die Aussage [mm] $y\in [/mm] T$ gilt. Da [mm] $T\supset [/mm] B$ abgeschlossen beliebig vorgegeben war, folgt [mm] $y\in\bigcap_{T\supset B\text{ abgeschlossen}}T=\overline{B}$. [/mm] Da [mm] $y\in\overline{A}$ [/mm] beliebig war, folgt [mm] $\overline{A}\subset\overline{B}$.
[/mm]
> > Es geht viel einfacher: Es ist doch [mm]F:=\overline{A} \cup \overline{B}[/mm]
> abgeschlossen, und [mm]A \cup B \subset F [/mm]. Damit taucht F in
> dem Durchschnitt
>
> > [mm]\overline{A \cup B}[/mm] = [mm]\bigcap_{F abgeschlossen, F \supset A \cup B}[/mm]
> F
>
> > auf. Es folgt [mm]\overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B} [/mm].
>
> Ah, supa. Das würde ich dann so bezeichnen, dass du die
> minimalität des Abschlusses verwendest, richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
> > Benutze doch die Def. von abgeschlossen.
> > D.h. zeige, dass [mm]X \backslash A = X \backslash \overline{A}[/mm]
> offen ist.
> Dann ist es ja trivial. da [mm]\overline{A}[/mm] abgeschlossen ist
> , ist X \ [mm]\overline{A}[/mm] offen.
Ja.
Es geht eigentlich noch viel einfacher: Wir setzen [mm] $A=\overline{A}$ [/mm] voraus und wollen die Abgeschlossenheit von $A$ erhalten. Nun ist aber [mm] $\overline{A}$ [/mm] abgeschlossen, also wegen [mm] $A=\overline{A}$ [/mm] auch $A$ abgeschlossen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:06 Do 11.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
> > > Beginne so:
> >
> > > Ist [mm]y \in \overline{A} [/mm], dann gilt für ALLE
> > abgeschlossenen [mm]F \supset A [/mm], dass [mm]y \in F[/mm] (Def. vom
> > Durchschnitt).
> >
> > > Sei nun [mm]F[/mm] abgeschlossen mit [mm]F \supset B [/mm].
> > > Dann
> ist
> > wegen [mm]A \subset B[/mm] auch [mm]F \supset A [/mm]. Damit ist [mm]y \in F [/mm].
>
> >
> > > Def. vom Durchschnitt --> [mm]y \in \overline{B} [/mm].
> > Mich verwirrt hier, dass du die Bezeichnung F für 2
> > verschiedene Dinge nimmst.
> > Gehören da nicht verschiedene bezeichungen hin?(da du
> vor
> > dem beweis nicht die gleichheit weißt)
> Aus meiner Sicht ist an beiden Stellen klar, was F jeweils
> bezeichnet. Aber verschiedene Bezeichnungen sind vielleicht
> wirklich übersichtlicher.
>
> > Also: Ist [mm]y \in \overline{A} [/mm]das heißt für alle
> > abgeschlossenen [mm]F \supset A [/mm], dass [mm]y \in F[/mm] (Def. vom
> > Durchschnitt).
> Bezeichne (*) die Aussage
>
> [mm]y\in F[/mm] für alle abgeschlossenen [mm]F\supset A[/mm].
>
> > Sei T abgeschlossen mit T [mm]\supset[/mm] B -> T [mm]\supset[/mm] A
> > -> T [mm]\supset[/mm] F
> Was bezeichnest du hier mit [mm]F[/mm]? Warum soll [mm]T\supset F[/mm]
> gelten?
>
> Wegen [mm]T\supset A[/mm] und [mm]T[/mm] abgeschlossen können wir (*) auf
> [mm]F:=T[/mm] anwenden und erhalten so [mm]y\in F=T[/mm].
>
> > Aber dann geht der beweis nicht auf ?
> Wir haben für beliebig vorgegebenes [mm]y\in\overline{A}[/mm]
> gezeigt, dass für beliebig vorgegebenes abgeschlossenes
> [mm]T\supset B[/mm] die Aussage [mm]y\in T[/mm] gilt. Da [mm]T\supset B[/mm]
> abgeschlossen beliebig vorgegeben war, folgt
> [mm]y\in\bigcap_{T\supset B\text{ abgeschlossen}}T=\overline{B}[/mm].
> Da [mm]y\in\overline{A}[/mm] beliebig war, folgt
> [mm]\overline{A}\subset\overline{B}[/mm].
Ah so gefällt mir persönlich der Beweis um einiges besser.
Danke, dass du mir dies nochmal erklärt hast. Hab es nun verstanden.
> Es geht eigentlich noch viel einfacher: Wir setzen
> [mm]A=\overline{A}[/mm] voraus und wollen die Abgeschlossenheit von
> [mm]A[/mm] erhalten. Nun ist aber [mm]\overline{A}[/mm] abgeschlossen, also
> wegen [mm]A=\overline{A}[/mm] auch [mm]A[/mm] abgeschlossen.
*kopf-greif*...Danke, manchmal stell ich mich aber auch an!
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