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| Aufgabe | Sei $ [mm] A\in\IC^{p\times{q}}. [/mm] $ Zeige:
i) [mm] (AA^\star)^+={(A^+)^\star}A^+
[/mm]
ii) [mm] (A^\star A)^+=A^+(A^+)^\star
[/mm]
iii) [mm] A^+=A^\star(AA^\star)^+
[/mm]
iv) [mm] A^+=(A^\star A)^+A^\star [/mm] |
Guten Morgen Mathematiker,
ich habe bereits hier www.matheraum.de/read?t=1017622 gefragt, was denn überhaupt das Plus-Zeichen bedeutet. Das ist mir nun klar. Jetzt geht es um Eigenschaften.
Ich weiß, dass ich folgendes nachprüfen muss (nach den Axiomen zur Mooore-Penrose-Inversen):
a) $AA^+A=A$
b) $A^+AA^+=A^+$
c) $A^+A$ und $AA^+$ sind hermitesch.
Nun hänge ich schon an der ersten Identität. Also:
ad i)
a) Es muss gelten $AA^+A=A$
Na dann setze ich mal ein:
[mm] AA^+A=(AA^\star)*({(A^+)^\star}A^+)*(AA^\star)
[/mm]
Und diese Zeile soll eigentlich [mm] $AA^\star$ [/mm] ergeben. Und genau da hänge ich. Ich kann es immer ein bisschen umformen, aber dass dann wirklich die Behauptung da steht ... weit gefehlt.
Kann mir eventuell jemand helfen - oder mache ich denn etwas falsch?
Ich bedanke mich!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Do 24.04.2014 | | Autor: | hippias |
Nutze aus, dass [mm] $AA^{\dagger}$ [/mm] bzw. [mm] $$A^{\dagger}A$ [/mm] hermitisch sind. Damit lassen sich die Teilprodukte bestehend aus den ersten drei bzw. den letzten drei Faktoren vereinfachen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Do 24.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A\in\IC^{p\times{q}}.[/mm] Zeige:
>
> i) [mm](AA^\star)^+={(A^+)^\star}A^+[/mm]
>
> ii) [mm](A^\star A)^+=A^+(A^+)^\star[/mm]
>
> iii) [mm]A^+=A^\star(AA^\star)^+[/mm]
>
> iv) [mm]A^+=(A^\star A)^+A^\star[/mm]
> Guten Morgen Mathematiker,
>
> ich habe bereits hier www.matheraum.de/read?t=1017622
> gefragt, was denn überhaupt das Plus-Zeichen bedeutet. Das
> ist mir nun klar. Jetzt geht es um Eigenschaften.
>
> Ich weiß, dass ich folgendes nachprüfen muss (nach den
> Axiomen zur Mooore-Penrose-Inversen):
> a) [mm]AA^+A=A[/mm]
>
> b) [mm]A^+AA^+=A^+[/mm]
>
> c) [mm]A^+A[/mm] und [mm]AA^+[/mm] sind hermitesch.
Wieso musst Du das nachprüfen ?? Das sind die Eigenschaften der Moore- Penrose - Inversen .
Mit den Eigenschaften a) , b) und c) sollst Du die Eigenschaften i) - iv) zeigen !
>
>
> Nun hänge ich schon an der ersten Identität. Also:
>
> ad i)
> a) Es muss gelten [mm]AA^+A=A[/mm]
Hä ? Es gilt ! [mm]AA^+A=A[/mm] ist eine der Voraussetzungen, die Du verwenden darfst, sollst und musst !
>
> Na dann setze ich mal ein:
> [mm]AA^+A=(AA^\star)*({(A^+)^\star}A^+)*(AA^\star)[/mm]
Wie kommst Du darauf ???
>
> Und diese Zeile soll eigentlich [mm]AA^\star[/mm] ergeben.
???? Dann wäre ja
[mm] $AA^+A=AA^\star$,
[/mm]
was aber i. A. nicht der Fall ist !
FRED
> Und genau
> da hänge ich. Ich kann es immer ein bisschen umformen,
> aber dass dann wirklich die Behauptung da steht ... weit
> gefehlt.
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> Kann mir eventuell jemand helfen - oder mache ich denn
> etwas falsch?
>
> Ich bedanke mich!
>
>
>
>
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Hallo hippias, hallo Fred,
zunächst danke für die Rückmeldung.
Ich weiß nicht, ob ich das ganze falsch verstanden habe, aber es ist doch so:
Sei [mm] B:=AA^\star, [/mm] wobei A eine eindeutige Pseudoinverse besitzt, nennen wir sie, wie üblich $4A^+$. $A^+$ erfüllt alle Axiome von Moore-Penrose.
Zu zeigen ist nun, dass die Pseudoinverse von B folgende Gestalt hat:
[mm] B^+={(A^+)^\star}A^+
[/mm]
Um dies zu zeigen, muss ich nun überprüfen:
a) $ BB^+B=B $
b) $ B^+BB^+=B^+ $
c) $ B^+B $ und $ BB^+ $ sind hermitesch.
Und hier kommt das, wo ich gesagt habe, ich setze ein. Ich setze B entsprechend a) ein, und forme dann solange um, bis ich gezeigt habe, dass a) gilt. Dabei nutze ich stets aus, dass A eine Pseudoinverse besitzt - nämlich $A^+$.
Nun die Rückfrage, sehe ich das falsch oder stimmt diese Überlegung?
Liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Do 24.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo hippias, hallo Fred,
>
> zunächst danke für die Rückmeldung.
>
> Ich weiß nicht, ob ich das ganze falsch verstanden habe,
> aber es ist doch so:
>
> Sei [mm]B:=AA^\star,[/mm] wobei A eine eindeutige Pseudoinverse
> besitzt, nennen wir sie, wie üblich [mm]4A^+[/mm]. [mm]A^+[/mm] erfüllt
> alle Axiome von Moore-Penrose.
>
> Zu zeigen ist nun, dass die Pseudoinverse von B folgende
> Gestalt hat:
> [mm]B^+={(A^+)^\star}A^+[/mm]
>
>
> Um dies zu zeigen, muss ich nun überprüfen:
>
> a) [mm]BB^+B=B[/mm]
> b) [mm]B^+BB^+=B^+[/mm]
> c) [mm]B^+B[/mm] und [mm]BB^+[/mm] sind hermitesch.
>
> Und hier kommt das, wo ich gesagt habe, ich setze ein. Ich
> setze B entsprechend a) ein, und forme dann solange um, bis
> ich gezeigt habe, dass a) gilt. Dabei nutze ich stets aus,
> dass A eine Pseudoinverse besitzt - nämlich [mm]A^+[/mm].
>
>
> Nun die Rückfrage, sehe ich das falsch oder stimmt diese
> Überlegung?
hallo Richie,
jetzt stimmen Deine Überlegungen (vorher hast Du Dich sehr missverständlich ausgedrückt)
FRED
>
> Liebe Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Do 24.04.2014 | | Autor: | Richie1401 |
> > Hallo hippias, hallo Fred,
> >
> > zunächst danke für die Rückmeldung.
> >
> > Ich weiß nicht, ob ich das ganze falsch verstanden habe,
> > aber es ist doch so:
> >
> > Sei [mm]B:=AA^\star,[/mm] wobei A eine eindeutige Pseudoinverse
> > besitzt, nennen wir sie, wie üblich [mm]4A^+[/mm]. [mm]A^+[/mm] erfüllt
> > alle Axiome von Moore-Penrose.
> >
> > Zu zeigen ist nun, dass die Pseudoinverse von B folgende
> > Gestalt hat:
> > [mm]B^+={(A^+)^\star}A^+[/mm]
> >
> >
> > Um dies zu zeigen, muss ich nun überprüfen:
> >
> > a) [mm]BB^+B=B[/mm]
> > b) [mm]B^+BB^+=B^+[/mm]
> > c) [mm]B^+B[/mm] und [mm]BB^+[/mm] sind hermitesch.
> >
> > Und hier kommt das, wo ich gesagt habe, ich setze ein. Ich
> > setze B entsprechend a) ein, und forme dann solange um, bis
> > ich gezeigt habe, dass a) gilt. Dabei nutze ich stets aus,
> > dass A eine Pseudoinverse besitzt - nämlich [mm]A^+[/mm].
> >
> >
> > Nun die Rückfrage, sehe ich das falsch oder stimmt diese
> > Überlegung?
>
> hallo Richie,
>
> jetzt stimmen Deine Überlegungen (vorher hast Du Dich sehr
> missverständlich ausgedrückt)
Pardon, Fred. Gut, dass meine Überlegungen stimmten, schlecht, dass ich mich so dumm ausgedrückt habe.
Mittlerweile habe ich die Aufgabe gelöst. Man muss eben nur genau hinschauen, und die richtigen Sachen ersetzen.
Beste Grüße
r.
>
> FRED
> >
> > Liebe Grüße!
>
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