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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Do 21.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz:
[mm] a_n=n+\bruch{1}{n+1}; a_n=sin(n) [/mm] |
Zur ersten Folge habe ich folgendes gemacht:
[mm] a_n=n+\bruch{1}{n+1}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=n+1+\bruch{1}{n+2}
[/mm]
[mm] a_{n+1}-a_n=1+\bruch{-1}{(n+2)*(n+1)}>0
[/mm]
[mm] \to [/mm] streng monoton steigend. Kann man sich ja auch durch gedankliches einsetzen für Werte von n gut vor Augen führen.
Dann gibt es auch eine untere Schranke [mm] s=1\bruch{1}{2}
[/mm]
Bei der Konvergenz war ich mir nicht ganz sicher aber kann ich da dann einfach schreiben:
[mm] \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}n+\lim_{n \to \infty}\bruch{1}{n+1}=\infty+0=\infty [/mm] ?
Bei der zweiten Folge habe ich weitaus mehr Probleme:
[mm] a_n=sin(n)
[/mm]
Klar weis ich eigentlich, dass sin(n) nur Werte zwischen [mm] -1\le [/mm] y [mm] \ge1 [/mm] erreicht. Nur sind 1 & -1 dann Grenzwerte? Eine Folge kann doch eigentlich nur einen Grenzwert haben. Vielleicht wäre 0 auch der Grenzwert? Oder die Folge hat gar keinen Grenzwert aber eine obere und untere Schranke und ist somit beschränkt. Monoton ist sie auch nicht.
Aber wie beweise ich was?
Zur Monotonie:
[mm] a_{n+1}-a_n=sin(n+1)-sin(n)
[/mm]
kann ich nicht ausrechnen oder?
Zur Konvergenz?
Puh keine Ahnung...
Aber die hat von euch jemand bestimmt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Do 21.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Untersuchen Sie folgende Folgen auf Monotonie,
> Beschränktheit und Konvergenz:
> [mm]a_n=n+\bruch{1}{n+1}; a_n=sin(n)[/mm]
> Zur ersten Folge habe
> ich folgendes gemacht:
> [mm]a_n=n+\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=n+1+\bruch{1}{n+2}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}-a_n=1+\bruch{-1}{(n+2)*(n+1)}>0[/mm]
>
> [mm]\to[/mm] streng monoton steigend. Kann man sich ja auch durch
> gedankliches einsetzen für Werte von n gut vor Augen
> führen.
hier könnte man die Ungleichung noch durch vollständige Induktion zeigen. Oder man löst die Ungleichung noch nach n auf, und zeigt, dass die Ungleichung für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Ich meine, sicher, mir würde das reichen, weil mans "sieht", aber Mathematikern reicht sowas meist nicht.
> Dann gibt es auch eine untere Schranke [mm]s=1\bruch{1}{2}[/mm]
Ja.
> Bei der Konvergenz war ich mir nicht ganz sicher aber kann
> ich da dann einfach schreiben:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}n+\lim_{n \to \infty}\bruch{1}{n+1}=\infty+0=\infty[/mm]
Ja, kann man. Weil der Bruch gegen Null geht, und das n gegen unendlich, ist die Folge uneigentlich konvergent (ich glaube, das nannte man so, wenns gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht.)
> ?
>
> Bei der zweiten Folge habe ich weitaus mehr Probleme:
>
> [mm]a_n=sin(n)[/mm]
>
> Klar weis ich eigentlich, dass sin(n) nur Werte zwischen
> [mm]-1\le[/mm] y [mm]\ge1[/mm] erreicht. Nur sind 1 & -1 dann Grenzwerte?
Nein. Schau dir die Definition von Grenzwert an: Ab einer gewissen Schranke von n müssen dann alle Funktionswerte in einer kleinen [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] liegen. Das tun sie aber nicht aufgrund der Periodizität.
> Eine Folge kann doch eigentlich nur einen Grenzwert haben.
> Vielleicht wäre 0 auch der Grenzwert? Oder die Folge hat
> gar keinen Grenzwert aber eine obere und untere Schranke
> und ist somit beschränkt. Monoton ist sie auch nicht.
> Aber wie beweise ich was?
>
> Zur Monotonie:
> [mm]a_{n+1}-a_n=sin(n+1)-sin(n)[/mm]
> kann ich nicht ausrechnen oder?
Nun, ein Gegenbeispiel reicht aus, um die Monotonie zu widerlegen. Nimm also einfach zwei Zahlen her, wo zwar [mm] $n_1>n_2$, [/mm] aber [mm] $\sin(n_1)\le \sin(n_2)$ [/mm] gilt. Damit hast du das Fallen widerlegt. Analog zum wachsen.
>
> Zur Konvergenz?
> Puh keine Ahnung...
Nun, deine Funktion ist ja nach oben und nach unten beschränkt. Sie ist aber weder sms noch smf. Wenn du mehrere Häufungspunkte zeigen kannst, dann hast du damit automatisch die Konvergenz widerlegt. Denn ich meine mich zu erinnern: Wenn ein Grenzwert existiet, dann ist dieser der einizge Häufungspunkt der Folge.
LG
Kroni
>
> Aber die hat von euch jemand bestimmt
>
> Besten Gruß,
> tedd
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