Eigenräume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:33 So 05.02.2012 | | Autor: | tomtom10 |
| Aufgabe | Gegeben: lineare Selbstabbildung [mm] \IR^4 [/mm] -> [mm] \IR^4 [/mm] beschrieben durch [mm] \delta [/mm] hinsichtlich der kanonischen Basis durch
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 3 & 0 \\5 & 0 & 0 & 3 }
[/mm]
a) Gesucht sind alle Eigenwerte und Eigenräume der Abbildung [mm] \delta
[/mm]
b) Basis aus Eigenvektoren der Abbildung [mm] \delta. [/mm] Wie lautet die Matrix R, mit der die Abbildung [mm] \delta [/mm] hinsichtlich dieser Basis beschrieben wird |
a)
Eigenwerte Ergeben sich aus
[mm] P-\lambda*E [/mm] zu
[mm] \lambda=1,-2,3,3
[/mm]
Eigenraum für [mm] \lambda=1
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 2 & 0 \\5 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
[mm] x_{4}=-\bruch{5}{2}x_{1}
[/mm]
[mm] x_{3}=2x_{1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}}
[/mm]
Eigenraum für [mm] \lambda=-2
[/mm]
[mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 5 & 0 \\5 & 0 & 0 & 5 }
[/mm]
[mm] x_{4}=-x_{1}
[/mm]
[mm] x_{3}=\bruch{4}{5}x_{1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{4}{5} \\ -1}
[/mm]
Eigenraum für [mm] \lambda=3
[/mm]
[mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & 0 \\5 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Hier weiss ich nicht weiter, könnt ihr mir helfen ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 So 05.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben: lineare Selbstabbildung [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] beschrieben
> durch [mm]\delta[/mm] hinsichtlich der kanonischen Basis durch
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 3 & 0 \\5 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
>
>
> a) Gesucht sind alle Eigenwerte und Eigenräume der
> Abbildung [mm]\delta[/mm]
> b) Basis aus Eigenvektoren der Abbildung [mm]\delta.[/mm] Wie
> lautet die Matrix R, mit der die Abbildung [mm]\delta[/mm]
> hinsichtlich dieser Basis beschrieben wird
> a)
> Eigenwerte Ergeben sich aus
>
> [mm]P-\lambda*E[/mm] zu
>
> [mm]\lambda=1,-2,3,3[/mm]
>
>
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=1[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 2 & 0 \\5 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> [mm]x_{4}=-\bruch{5}{2}x_{1}[/mm]
>
> [mm]x_{3}=2x_{1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}}[/mm]
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=-2[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 5 & 0 \\5 & 0 & 0 & 5 }[/mm]
>
> [mm]x_{4}=-x_{1}[/mm]
>
> [mm]x_{3}=\bruch{4}{5}x_{1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{4}{5} \\ -1}[/mm]
>
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=3[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & 0 \\5 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Hier weiss ich nicht weiter, könnt ihr mir helfen ?
Es ist [mm] x_1=x_2=0 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] sind frei wählbar.
FRED
|
|
|
| |
|
> Gegeben: lineare Selbstabbildung [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] beschrieben
> durch [mm]\delta[/mm] hinsichtlich der kanonischen Basis durch
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -2 & 0 & 0 \\
-4 & 0 & 3 & 0 \\
5 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
>
>
> a) Gesucht sind alle Eigenwerte und Eigenräume der
> Abbildung [mm]\delta[/mm]
> b) Basis aus Eigenvektoren der Abbildung [mm]\delta.[/mm] Wie
> lautet die Matrix R, mit der die Abbildung [mm]\delta[/mm]
> hinsichtlich dieser Basis beschrieben wird
> a)
> Eigenwerte Ergeben sich aus
>
> [mm]P-\lambda*E[/mm] zu
>
> [mm]\lambda=1,-2,3,3[/mm]
>
>
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=1[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0 & 0 \\
-4 & 0 & 2 & 0 \\
5 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> [mm]x_{4}=-\bruch{5}{2}x_{1}[/mm]
>
> [mm]x_{3}=2x_{1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\
0 \\
2 \\
-\bruch{5}{2}}[/mm]
Hallo,
ja, [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}}$ [/mm] ist eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] \lambda=1.
[/mm]
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=-2[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 \\
-4 & 0 & 5 & 0 \\
5 & 0 & 0 & 5 }[/mm]
>
> [mm]x_{4}=-x_{1}[/mm]
>
> [mm]x_{3}=\bruch{4}{5}x_{1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\
0 \\
\bruch{4}{5} \\
-1}[/mm]
Wie kommst Du darauf?
[mm] x_1 [/mm] muß doch =0 sein.
>
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=3[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 & 0\\
0 & -5 & 0 & 0 \\
-4 & 0 & 0 & 0 \\
5 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Hier weiss ich nicht weiter, könnt ihr mir helfen ?
s. Fred
Du mußt unbedingt lernen, Matrizen auf Zeilenstufenform zu bringen, um zügig, richtig und systematisch LGSe lösen zu können.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 So 05.02.2012 | | Autor: | tomtom10 |
danke bisher !
macht alles sinn ^^
somit hätte ich 4 Eigenräume:
[mm] x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}}
[/mm]
[mm] x_{2}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] (doppelt)
jetzt muss ich für Eigenvektore [mm] x_{1}-x_{4} [/mm] beliebig wählen und erhalte dadurch 4 Eigenvektoren ?
diese dann als Spaltenvektoren in eine Matrix und ich erhalte R ?
|
|
|
| |
|
Hallo tomtom10,
> danke bisher !
> macht alles sinn ^^
>
> somit hätte ich 4 Eigenräume:
>
> [mm]x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}}[/mm]
>
> [mm]x_{2}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ x_{3} \\ x_{4}}[/mm]
> (doppelt)
>
> jetzt muss ich für Eigenvektore [mm]x_{1}-x_{4}[/mm] beliebig
> wählen und erhalte dadurch 4 Eigenvektoren ?
>
Ja.
> diese dann als Spaltenvektoren in eine Matrix und ich
> erhalte R ?
>
Ebenfalls ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 So 05.02.2012 | | Autor: | tomtom10 |
Danke !
In welchen Fällen ist es eigentlich nicht möglich, eine Basis aus Eigenvektoren zu erstellen ?
|
|
|
| |
|
Hallo tomtom10,
> Danke !
>
> In welchen Fällen ist es eigentlich nicht möglich, eine
> Basis aus Eigenvektoren zu erstellen ?
In denjenigen Fällen, in denen die Matrix nicht diagonalisierbar ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
