Eigenfunktionen berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Di 31.05.2011 | | Autor: | leu89 |
| Aufgabe 1 | Wir betrachten den Unterraum [mm] C^2_0
([0; \pi]) := \{ f \in C^2([0; \pi]) : f(0) = f(\pi) = 0 \} [/mm]
von [mm] C^2([0; \pi]) [/mm] und die lineare Abbildung
[mm] A: C^2_0([0, \pi]) \rightarrow C^2([0, \pi]), f \rightarrow f'' [/mm]
a) Man bestimme die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] und Eigenvektoren [mm] \phi \in C^2_0([0,\pi]) [/mm] (Eigenfunktionen) von A, d.h. [mm] A\phi [/mm] = [mm] \lambda\phi. [/mm] |
| Aufgabe 2 | b) Man zeige, dass A bezüglich des Skalarproduktes
[mm] \left\langle f,g \right\rangle = \int_{0}^{\pi}f(x)g(x)\, dx [/mm]
für [mm] f,g \in C^2_0([0,\pi]) [/mm] symmetrisch ist, d.h. [mm] \left\langle Af,g \right\rangle = \left\langle f,Ag \right\rangle [/mm], und schliesse daraus, dass die Eigenfunktion von A ein orthogonales System bilden. |
Also ich bräuchte erst einmal Hilfe zur ersten Aufgabe. Ich habe keine Ahnung, wie ich die Eigenfunktion berechnen soll. Was ich kann, sind Eigenwerte und Vektoren einer Matrix berechnen, wie das bei einer Funktion geht, weiss ich allerdings nicht, ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir Helfen könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten den Unterraum [mm]C^2_0
([0; \pi]) := \{ f \in C^2([0; \pi]) : f(0) = f(\pi) = 0 \}[/mm]
>
> von [mm]C^2([0; \pi])[/mm] und die lineare Abbildung
> [mm]A: C^2_0([0, \pi]) \rightarrow C^2([0, \pi]), f \rightarrow f''[/mm]
>
> a) Man bestimme die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] und Eigenvektoren
> [mm]\phi \in C^2_0([0,\pi])[/mm] (Eigenfunktionen) von A, d.h.
> [mm]A\phi[/mm] = [mm]\lambda\phi.[/mm]
> b) Man zeige, dass A bezüglich des Skalarproduktes
> [mm]\left\langle f,g \right\rangle = \int_{0}^{\pi}f(x)g(x)\, dx[/mm]
>
> für [mm]f,g \in C^2_0([0,\pi])[/mm] symmetrisch ist, d.h.
> [mm]\left\langle Af,g \right\rangle = \left\langle f,Ag \right\rangle [/mm],
> und schliesse daraus, dass die Eigenfunktion von A ein
> orthogonales System bilden.
> Also ich bräuchte erst einmal Hilfe zur ersten Aufgabe.
> Ich habe keine Ahnung, wie ich die Eigenfunktion berechnen
> soll. Was ich kann, sind Eigenwerte und Vektoren einer
> Matrix berechnen, wie das bei einer Funktion geht, weiss
> ich allerdings nicht, ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr
> mir Helfen könntet.
[mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von A und [mm] \phi [/mm] ist Eigenfunktion, wenn [mm] \phi \in [/mm] $ [mm] C^2([0; \pi]) [/mm] $, [mm] \phi \ne [/mm] 0 und
[mm] $\lambda \phi [/mm] = [mm] \phi''$
[/mm]
Löse also das Randwertproblem
[mm] $\lambda \phi [/mm] = [mm] \phi''$ \phi(0)=\phi( \pi) [/mm] =0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Di 31.05.2011 | | Autor: | leu89 |
Hmm, dies hilft mir irgendwie nicht weiter. Wie kann ich die Randwertprobleme lösen? Ich weiss ja nicht ob die Funktion ein Polynom, eine Winkelfunktion, Wurzelfunktion, etc. ist. Ich kann also nicht einfach integrieren...
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Hallo leu89,
> Hmm, dies hilft mir irgendwie nicht weiter. Wie kann ich
> die Randwertprobleme lösen? Ich weiss ja nicht ob die
> Funktion ein Polynom, eine Winkelfunktion, Wurzelfunktion,
> etc. ist. Ich kann also nicht einfach integrieren...
Löse zunächst die DGL
[mm]\lambda \phi = \phi''[/mm]
Dann setzt Du die Randbedingungen ein,
und überprüfst, wechle Lösungen Sinn machen.
Gruss
MathePower
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