Eigene Herleitung Transformat. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Es seien p,q,a,b, reelle Zahlen mit 0<p<q und 0<a<b Abschnitte der Parabeln
[mm] y^{2}=px, y^{2}=qx, x^{2}=ay, x^{2}=by
[/mm]
bilden ein krummlinig berandetes Viereck M in [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Betrachten sie die Koordinatentransformation
[mm] T:(0,\infty)^{2}->(0,\infty)^{2}, T(u,v)=(x,y)=\vektor{u^{\bruch{2}{3}}*v^{\bruch{4}{3}} \\ u^{\bruch{4}{3}}*v^{\bruch{2}{3}} } [/mm] |
| Aufgabe 2 | Wir setzen [mm] u:=\bruch{y}{\wurzel{x}} [/mm] und [mm] v:=\bruch{x}{\wurzel{y}}. [/mm]
Folgern sie das T injektiv ist |
| Aufgabe 3 | | Zeigen sie dass T(u,v) für konstante Werte u [mm] \in [\wurzel{p}, \wurzel{q}] [/mm] durch die ersten beiden Parabeln und für konstante Werte v [mm] \in [\wurzel{a}, \wurzel{b}] [/mm] durch die letzten beiden Parablen begrenzt wird. |
| Aufgabe 4 | | Berechnen sie das Integral [mm] \integral_{M}^{}{xy dxdy} [/mm] mittels des Transformationssatzes und der Koordinatentransformation T(u,v). |
Zu 1) Beweisen, dass T(u,v) injektiv ist.
I) [mm] u:=\bruch{y}{\wurzel{x}} [/mm] nach y umstellen
II) [mm] v:=\bruch{x}{\wurzel{y}} [/mm]
I) [mm] y=u*\wuzel{x} [/mm] in II einsetzen
II) [mm] v=\bruch{x}{u*\wurzel{x}}
[/mm]
=> [mm] x=v*u*\wurzel{x}
[/mm]
=> [mm] x=v^{2}*u^{2} [/mm] in I einsetzen
[mm] y=u^{2}*v [/mm]
d.h. y und x sind eindeutig lösbar, es existiert also eine Umkehrfunktion -> injektiv.
So Richtig?
Zu 2) Hier weiß ich nicht einmal was ich machen soll.
Hab x und y in die Parabeln eingesetzt:
A) [mm] y^{2}=px=p(v^{2}*u^{2}) [/mm] <=> [mm] y=\wurzel{p}*u*v [/mm]
B) [mm] y^{2}=qx=q(v^{2}*u^{2}) [/mm] <=> [mm] y=\wurzel{q}*u*v
[/mm]
da 0<p<q A<B
C) [mm] x^{2}=ay=a*u^{2}*v [/mm] <=> [mm] x=\wurzel{ay}*u [/mm]
D) [mm] x^{2}=by=b*u^{2}*v [/mm] <=> [mm] x=\wurzel{by}*u [/mm]
da 0<a<b C<D
Ist das in der Aufgabenstellung gemeint?
Zu 3)
Hab da erstmal die neuen x und y in T(u,v) eingesetzt
=> [mm] T(\bruch{y}{\wurzel{x}}, \bruch{x}{\wurzel{y}})=\vektor{(\bruch{y}{\wurzel{x}})^{\bruch{2}{3}}* (\bruch{x}{\wurzel{y}})^{\bruch{4}{3}}\\(\bruch{y}{\wurzel{x}})^{\bruch{4}{3}}* (\bruch{x}{\wurzel{y}})^{\bruch{2}{3}} }
[/mm]
nun für [mm] y=u^{2}*v [/mm] und für [mm] x=u^{2}*v^{2} [/mm] eingesetzt=>
[mm] T(u,v)=\vektor{u^{\bruch{2}{3}}*v^{2} \\ u^{\bruch{4}{3}}*v}
[/mm]
Für den Transformationssatz muss ich doch jetztt davon die determinante berechnen und dann darüvber integrieren:
[mm] \integral_{M}^{}{\integral_{}^{}{u^{2}*v^{2}*u^{2}*v*|detT'| dvdu}}
[/mm]
Aber wie bekomme ich hier den Bereich M, also die Integralsgrenzen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 28.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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