Eienwerte und Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mo 15.01.2007 | | Autor: | maria26 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
Überprüfen Sie zusätzlich den Satz "Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig". |
Hallo, ich muss folgendes berechnen:
Bsp.
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
Das berechnen der Eigenwerte und der Eigenwerte ist kein Problem.
bekomme da als Lösung raus:
für die Eigenwerte:
lamda1=1
lamda2=0
lamda3=2
Die Eigenvektoren sind:
für lamda1=1 ist der Eigenvektor
[mm] \vektor{t \\ 0 \\ 0} [/mm] t ist Element aus R
für lamda=2 ist der Eigenvektor:
[mm] \vektor{2t \\ t \\ t} [/mm] t ist Element aus R
für lamda=0 ist der Eigenvektor
[mm] \vektor{0 \\ -t \\ t} [/mm] t ist Element aus R
Die Frage ist nun, wie kann ich diesen Satz überprüfen???......: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig" ???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender
> Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
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> Überprüfen Sie zusätzlich den Satz "Eigenvektoren zu
> verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig".
> Hallo, ich muss folgendes berechnen:
> Bsp.
>
> Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender
> Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Das berechnen der Eigenwerte und der Eigenwerte ist kein
> Problem.
> bekomme da als Lösung raus:
> für die Eigenwerte:
> lamda1=1
> lamda2=0
> lamda3=2
>
> Die Eigenvektoren sind:
> für lamda1=1 ist der Eigenvektor
>
> [mm]\vektor{t \\ 0 \\ 0}[/mm] t ist Element aus R
>
> für lamda=2 ist der Eigenvektor:
>
> [mm]\vektor{2t \\ t \\ t}[/mm] t ist Element aus R
>
> für lamda=0 ist der Eigenvektor
> [mm]\vektor{0 \\ -t \\ t}[/mm] t ist Element aus R
>
> Die Frage ist nun, wie kann ich diesen Satz
> überprüfen???......: Eigenvektoren zu verschiedenen
> Eigenwerten sind linear unabhängig" ???
Hallo,
Du sollst ja Dich nur überzeugen, ob er auch in diesem Beispiel stimmt.
Zum Eigenwert 1 ist [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ein Eigenvektor,
Zum Eigenwert 2 ist [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] ein Eigenvektor,
Zum Eigenwert 0 ist [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1} [/mm] ein Eigenvektor.
Bleibt Dir, die lineare Unabhängigkeit dieser Vektoren zu prüfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 15.01.2007 | | Autor: | maria26 |
hier mache ich nun aus den 3 Vektoren ein lineares Gleichungssystem:
1a+0b+0c=0
2a+1b+1c=0
0a-1b+1c=0
1 0 0 0
2 1 1 0
0 -1 1 0
dann kommt raus:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
das heisst a=0, b=0, c=0 , deshalb sind die 3 Vektoren linear unabhängig.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Maria,
Eine andere Betrachtungsweise ist die, dass drei Vektoren linear unabhängig voneinander sind, wenn sie paarweise orthogonal sind. Das ist dann der Fall, wenn das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren den Wert 0 ergibt.
Achtung, hier schlich sich ein Denkfehler: Wenn Die Vektoren orthogonal sind, so sind sie auch linear unabhängig, der Umkehrschluss gilt aber nicht, wie Angela richtig bemerkte.
Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mo 15.01.2007 | | Autor: | maria26 |
[mm] \vektor{2t \\ t \\ t}.....danke [/mm] für eure Antworten.
Ja dieser Vektor stimmt.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:28 Mo 15.01.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> Eine andere Betrachtungsweise ist die, dass drei Vektoren
> linear unabhängig voneinander sind, wenn sie paarweise
> orthogonal sind.
Hallo,
aus Orthogonalität folgt die Unabhängigkeit, aber das Umgekehrte gilt natürlich nicht.
Maria braucht sich also wegen ihrer Eigenvektoren keine Sorgen zu machen.
Gruß v. Angela
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