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Dieses Problem muss ich im Rahmen eines Filmprojekts lösen:
Gegeben ist ein Foto, darin ist ein Rechteck abgebildet. Dieses Rechteck hat in Realität die Seitenlängen 9cmx13cm. Ich kenne die Koordinaten 2er aneinanderliegenden Ecken im Foto und muss nun mit diesen gegebenen Mitteln die anderen beiden Koordinaten finden.
Beispiel (Siehe Anhang):
bekannt sind die rot-umkreisten Ecken des Bildes: Sie haben die Koordinaten (542;119) und (535;576). Ich muss nun die Koordinaten der blauen Punkte finden. Dabei ist darauf zu achten, dass die Winkel in dem Foto nicht zwangsläufig rechte Winkel sind.
Frage wie finde ich die blauen Punkte. Bitte erklärt mir dies am obigen Beispiel.
Ich habe leider keine projektive Geometrie Vorlesung gehört und weiß nicht, wie ich das genau lösen kann. Falls notwendig könnte ich auch auf jeder Kante einen weiteren Punkte angeben.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Fr 10.02.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
willst du die Koordinaten auf dem Foto, dann versteh ich nicht , warum du nicht ausmisst.
willst du die Koordinaten in der Wirklichkeit ?
aber mit 2 (oder mehr) Punkten auf einer Geraden kannst du nichts über die anderen Ecken ausrechnen. denn das Bild bzw das Original kann man ja um diese Gerade drehen, die bleibt dann gleich die blauen Punkte wandern.
Gruß leduart
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ich will die Koordinaten auf dem Foto. Ja, in diesem Fall könnte ich diese einfach ausmessen. Aber es gibt andere Fälle, z.b. wenn ein Objekt die Ecken des Rechtecks verdecken, oder wenn die die blauen Ecken außerhalb des Bildes sind.
Und das man das nicht lösen kann, ist schwer zu glauben. wenn ich zusätzliche Punkte auf der Geraden gegeben habe, könnte man doch den Winkel, bei der 1. roten Ecke ausrechnen. Mit diesem Winkel und den realen Maßen, müsste man doch bestimmen können, wo die blauen ecken liegen. Oder wo ist der Denkfehler?
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Hiho,
> Und das man das nicht lösen kann, ist schwer zu glauben.
das dachte man auch über so manch bisher ungelöste Aussage in der Mathematik…
> wenn ich zusätzliche Punkte auf der Geraden gegeben habe
auf welcher Geraden?
> könnte man doch den Winkel, bei der 1. roten Ecke
> ausrechnen. Mit diesem Winkel und den realen Maßen,
> müsste man doch bestimmen können, wo die blauen ecken
> liegen. Oder wo ist der Denkfehler?
Nein!
Wie leduart bereits sagte, kann man dein Rechteck um die gegebene Gerade drehen, selbst wenn da weitere Punkte drauf gegeben sind.
wenn du das Photo selbst gemacht hast, dreh dein Bild einfach ein Stück Richtung Kamera um die Gerade zwischen den beiden roten Punkten. Du wirst sehen, auf dem Photo sind die Winkel unverändert, die Geraden zu den blauen Ecken aber einfach nur verkürzt.
D.h. ohne zusätzliche Informationen wirst du die Koordinaten der Ecken nicht bestimmen können.
Gruß,
Gono
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Um sicher zu gehen, dass wir von der selben Gerade sprechen, habe ich im Anhang das Bild aktualisiert und zusätzliche Informationen ergänzt:
E: (687;104)
F: (701;560)
Mit diesen zusätzlichen Informationen kann ich weiterhin C und D nicht berechnen?. Welche Informationen wären zusätzlich notwendig um C und D zu berechnen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hiho,
> Um sicher zu gehen, dass wir von der selben Gerade
> sprechen, habe ich im Anhang das Bild aktualisiert und
> zusätzliche Informationen ergänzt:
>
> E: (687;104)
> F: (701;560)
>
> Mit diesen zusätzlichen Informationen kann ich weiterhin C
> und D nicht berechnen?. Welche Informationen wären
> zusätzlich notwendig um C und D zu berechnen?
also wenn du nur das Bild hast und diese Punkte: Nein, noch immer nicht.
Wenn du aber die Realabstände von E zu A oder B hast bzw. F zu A oder B, dann schon. Dann reicht dir sogar ein Punkt, also E oder F, aus.
Ohne aber mindestens einen Realabstand reichen sogar weitere 20 Punkte auf den Geraden AD oder BC nicht aus, es sei denn, du gibst die Eckpunkte C oder D direkt vor. Aber dann wäre die Aufgabe recht sinnfrei.
Gruß,
Gono
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Danke Geno,
In der Tat könnte ich den Punkt E vor dem Filmdreh physisch makieren, sodass ich den Realabstand kenne und dann die Koordinate messen kann.
Wenn ich Beispielsweise den Realabstand AE kenne, ist mir klar wie ich damit D berechne. Aber Wie kann ich damit C berechnen?
LG Joseph
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Hiho,
> Wenn ich Beispielsweise den Realabstand AE kenne, ist mir
> klar wie ich damit D berechne. Aber Wie kann ich damit C
> berechnen?
Bezeichnen wir die Koordinaten mal wie folgt:
$A = [mm] (a_1,a_2), [/mm] B = [mm] (b_1,b_2)$ [/mm] und du hast $D = [mm] (d_1,d_2)$ [/mm] bereits berechnet.
Aufgrund der Eigenschaften des Rechtecks ergeben sich die Koordinaten von C dann einfach als:
$C = [mm] (b_1 [/mm] + [mm] (d_1 [/mm] - [mm] a_1),b_2 [/mm] + [mm] (d_1 [/mm] - [mm] a_1))$
[/mm]
Was anschaulich nichts anderes macht als: Du siehst die Strecke von A nach C als Vektor an, der ja aussagt, wie du von A nach C kommst. Läufst du dieselbe Strecke und Richtung aber statt von A von B los, landest du aufgrund der Eigenschaften eines Rechtecks eben bei C.
D.h. du nutzt aus, dass der Weg von A nach C parallel liegt zum Weg von B zu C und genauso lang ist.
Gruß,
Gono
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Vielen Dank Gono,
Leider bin ich doch nicht in der Lage den Punkt D zu berechnen. Ich dachte, die Strecke AD wäre proportional zu der Strecke AE, aber das ist im Allgemeinen nicht gegeben. Kannst du mir hier noch Helfen und sagen wie ich D berechne
LG Joseph
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Hiho,
entschuldige die späte Antwort 
> Leider bin ich doch nicht in der Lage den Punkt D zu
> berechnen. Ich dachte, die Strecke AD wäre proportional zu
> der Strecke AE, aber das ist im Allgemeinen nicht gegeben.
Jein… wir sind ja davon ausgegangen, dass du sowohl die Originallänge von AE als auch die Bildlänge bekommst.
Und natürlich ist die Proportion von der Bildlänge zur Originallänge bei AE und AD die selbe.
Gruß,
Gono
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