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| Aufgabe | Bestimmen sie , wie die beiden Ebenen zueinander stehen
a) E1: x1+x2-x3=1 E2: 4x1-x2-x3=3
b) E1:-x1+2x2+5x3=10 E2: 2x1-4x2+x3=4
c)E1: 2x1-3x2+x3=2 E2: -6x1+9x2-3x3=5
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Hallo habe ich die Aufgaben gelöst kann die jemand kontrollieren?? Wäre nett
hier meine Lösungen
a) Man muss die Ebenen als Gleichungssystem schreiben,da beide die gleichung für einen punkt ( x1/x2/x3) erfüllen müssen, falls sie sich schneiden oder identisch sind
somit ist die matrix
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 4 & -1 & -1 & 3 }
[/mm]
die lösung diesen Gleichungssytem ist x1-0,4x3= 0,8 und x2-0,6x3=0,2
setzt man für x3 5 eine ergibt sich x1= 2,8 und x2= 3,2
Eine frage hab ich da noch .. die Geraden schneiden sich doch, da die Lösung einen freien Parameter erhält oder??
Naja falls sie sich schneiden ist der Schnittpunkt dann ( 2,8/ 3,2/5) oder???
b) [mm] matrix:\pmat{ -1 & 2 & 5 & 10 \\ 2 & -4 & 1 & 4 }
[/mm]
die Lösung ist dann x1-2x2= 10/11 und x3= 24/11
wählt man x2=2 ist x1= 54/11
Die ebenen schneiden sich dich wie bei a oder?
wenn ja ist der schnittpunkt doch ( 54/11|10/11|24/11)
c) [mm] Matrix:\pmat{ 2 & -3 & 1 & 2 \\ -6 & 9 & -3 & 5}
[/mm]
Als Lösung erhalte ich: [mm] \pmat{ 1 & -1,5 & 0,5 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
die gleichung ist also unlösba und somit sind die Ebenen parallel oder??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, die Ebenen aus a) und b) schneiden sich, die aus c) sind parallel.
Eine einfachere Variante, ohne Matrizen, wäre dir die Koeffizienten von [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] anzugucken, da diese ja die Komponenten des Normalenvektors der Ebenen sind.
Und 2 Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren kollinear, also Vielfache voneinander sind. Und wenn du dir c) anguckst:
[mm] -3*\vektor{2 \\ -3 \\ 1}=\vektor{-6 \\9 \\ -3} [/mm] => Normalenvektoren sind kollinear => Ebenen sind parallel.
Und was du auch noch wissen solltest: Ebenen schneiden sich nicht nur in einem Punkt! Sie schneiden sich entweder gar nicht, wie in c), oder sie schneiden sich in einer Schnittgerade, haben also unendlich viele Schnittpunkte!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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okay.. dann ist der punkt den ich ausgerechnet habe nur einer von vielen??? und wie berechne ich dir gerade??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Du musst das Gleichungssystem lösen, indem du eine Variable einfach t setzt.
Als Lösung kannst du z.B. sowas erhalten:
[mm] x_1=t
[/mm]
[mm] x_2=2t-4
[/mm]
[mm] x_3=5-t
[/mm]
Und damit hättest du als Gerade
g: [mm] \vec{x}=\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{t \\ 2t-4 \\ 5-t}=\vektor{0 \\ -4 \\ 5}+t*\vektor{1 \\ 2 \\ -1}, t\in \IR
[/mm]
Teufel
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