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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Mo 07.06.2010 | | Autor: | LadyVal |
| Aufgabe | Eine Ebene E: [mm] a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b [/mm] soll durch den Ursprung gehen und mit den drei Koordinatenebenen jeweils den gleichen Winkel einschließen.
Bestimmen Sie die Koeffizienten [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3} [/mm] sowie b. Berechnen Sie auch den Winkel. |
Ich habe mal angefangen und bin mir recht unsicher.
Mein Lösungsvorschlag:
b=0, da E durch den Ursprung geht.
Die drei Ebenengleichungen für die Koordinatenebenen lauten:
[mm] E_x_{1,2}: x_{3} [/mm] = 1
[mm] E_x_{2,3}: x_{1} [/mm] = 1
[mm] E_x_{1,3}: x_{2} [/mm] = 1
Die Formel zur Berechnung eines Winkels zwischen 2 Ebenen ist, angewendet auf o.g. Angaben:
I.
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}
[/mm]
II.
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}
[/mm]
III.
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{a_{2}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}
[/mm]
Da die Winkel ja gleich sein sollen, setze ich I. und II. beispielsweise gleich:
[mm] \bruch{a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}, [/mm]
multipliziere mit dem Nenner durch und erhalte
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] a_{1}.
[/mm]
Analog ist ja auch [mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{2}.
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Wenn ja, wäre der Winkel
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{1}^{2}+a_{1}^{2}}}
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
=> [mm] \alpha [/mm] = 54,7°.
Kann das sein?
Danke für Eure Hilfe :')
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Mo 07.06.2010 | | Autor: | statler |
> Eine Ebene E: [mm]a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b[/mm] soll durch
> den Ursprung gehen und mit den drei Koordinatenebenen
> jeweils den gleichen Winkel einschließen.
> Bestimmen Sie die Koeffizienten [mm]a_{1}, a_{2}, a_{3}[/mm] sowie
> b. Berechnen Sie auch den Winkel.
Guten Morgen!
> Mein Lösungsvorschlag:
>
> b=0, da E durch den Ursprung geht.
>
> Die drei Ebenengleichungen für die Koordinatenebenen
> lauten:
>
> [mm]E_x_{1,2}: x_{3}[/mm] = 1
> [mm]E_x_{2,3}: x_{1}[/mm] = 1
> [mm]E_x_{1,3}: x_{2}[/mm] = 1
>
> Die Formel zur Berechnung eines Winkels zwischen 2 Ebenen
> ist, angewendet auf o.g. Angaben:
>
> I.
> cos [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\bruch{a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}[/mm]
>
>
> II.
> cos [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\bruch{a_{1}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}[/mm]
>
>
> III.
> cos [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\bruch{a_{2}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}[/mm]
>
>
> Da die Winkel ja gleich sein sollen, setze ich I. und II.
> beispielsweise gleich:
>
> [mm]\bruch{a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{a_{1}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},[/mm]
>
> multipliziere mit dem Nenner durch und erhalte
> [mm]a_{3}[/mm] = [mm]a_{1}.[/mm]
>
> Analog ist ja auch [mm]a_{1}[/mm] = [mm]a_{2}.[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
>
> Wenn ja, wäre der Winkel
>
> cos [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\bruch{a_{1}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{1}^{2}+a_{1}^{2}}}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> => [mm]\alpha[/mm] = 54,7°.
>
> Kann das sein?
Das kann nicht nur sein, das ist auch so.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Mo 07.06.2010 | | Autor: | LadyVal |
Moin :')
woooohewww! Das erfreut! Danke!
Herzliche Grüße
Val
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