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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Sussan |
| Aufgabe | | Bestätigen Sie mit hilfe der Differenzialrechnung, dass es sich nur dann um die kürzeste entfernung (Ebene & Punkt)handeln kann, wenn der Verbindungsvektor senkrecht auf der Ebene steht. |
Hey, dass ist ein Teilaufgabe meiner mündl. Prüfung und ic habe keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Mein Lehrer hat gesagt es hat was mit Hch und Tief punkt zu tun. Kann mir jemand helfen...
Danke...Sussan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestätigen Sie mit hilfe der Differenzialrechnung, dass es
> sich nur dann um die kürzeste entfernung (Ebene &
> Punkt)handeln kann, wenn der Verbindungsvektor senkrecht
> auf der Ebene steht.
> Hey, dass ist ein Teilaufgabe meiner mündl. Prüfung und
> ic habe keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Mein Lehrer hat
> gesagt es hat was mit Hch und Tief punkt zu tun. Kann mir
> jemand helfen...
Das ist schwierig, denn es ist nicht so ganz genau klar, worauf das hinauslaufen soll. Du würdest uns schon enorm weiterhelfen, wenn du dazusagen könntest, um welche Art vonPrüfung es geht, und welche Mittel zur VErfügungs stehen. Insbesondere wäre die Frage, ob mehrdimensionale Analysis verwendet werden darf oder nicht?
Ich verstehe die Aufgabe grob gesprochen so:
Eine Ebene E, etwa
E: [mm] ax_1+b_x_2+c_x_3=d
[/mm]
sowie ein nicht auf E liegender Punkt
[mm] P(u_1|u_2|u_3)
[/mm]
seien gegeben.
Der Abstand d(P,E) soll minimiert werden. Hierzu könnte man einen allgemeinen Ebenenpunkt wählen und dabei beachten, dass man bei diesem Punkt nur zwei Koordinaten frei wählen kann, die dritte ist dann festgelegt.
Wenn man jetzt den Abstand von P zu diesem Ebenepunkt per Euklidischer Norm darstellt, dann wird er noch von diesen zwei Koordinaten abhängen. Wenn man da jetzt direkt mit Analysis drauf losgehen möchte, dann muss man mit partiellen Ableitungen arbeiten, um letztendlich zu zeigen, dass der Abstand am Lotfußpunkt minimal wird.
Aber bevor wir da einsteigen sagst du uns besser etwas zu deinen Vorkenntnissen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Sussan |
Hallo,
geht um meine mündliche abi prüfung.
in meine erste aufgabe muss ich mit der hesseschen normalform den abstand zwischen ebene ud punkt berecnen. da dieser Abstand immer der kürzeste ist, ist die Verbindungsgrade senkrecht (sklpr. =0).
Ich soll jetzt mit der Diff.rechnung bestätigen dass dieser weg der kürzeste ist.
Von den Eukal... habe ich noch nie was gehört. ...
LG
Sussan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Sussan,
> Hallo,
>
> geht um meine mündliche abi prüfung.
das ist allerdings eine merkwürdige Aufgabe in diesem Zusammenhang!
> in meine erste aufgabe muss ich mit der hesseschen
> normalform den abstand zwischen ebene ud punkt berecnen. da
> dieser Abstand immer der kürzeste ist, ist die
> Verbindungsgrade senkrecht (sklpr. =0).
> Ich soll jetzt mit der Diff.rechnung bestätigen dass
> dieser weg der kürzeste ist.
>
> Von den Eukal... habe ich noch nie was gehört. ...
Das ist schlecht, sowas sollte wenigstens grob mal im Unterricht erwähnt
werden:
Mit der euklidischen Norm "misst" man generell die Länge eines Vektors im
"Anschauungsraum" $\IR^n$ - bei Dir sind wir hier nur im $\IR^3\,.$ Das
heißt grob: Die Länge kann so berechnet werden, wie wir es machen
würden, wenn wir es mit den Schulmitteln 'der anschaulichen $\IR^n$-Geometrie',
hier also der 'anschaulichen $\IR^3$-Geometrie', machen: "Pythagoras".
Der Abstand zwischen zwei Punkten ist dann die Länge des "Differenzvektors"
der beiden Punkte - auch das entspricht dem, was wir dann anschaulich
als Abstand zweier Punkte interpretieren.
Das ganz allgemeine Verständnis von "Länge" und "Abstand" könnte ich
Dir auch erläutern, aber dann verlassen wir die Schulmathematik...
So, nun zu Deiner Aufgabe, die man auch mit Schulmitteln lösen kann:
Ist $E:\;\;ax_1+bx_2+cx_3=d$ eine Ebene (genauer: eine Gleichung
die eine Ebene $E\,$ beschreibt), so steht $\vec{n}:=\vektor{a\\b\\c}$ senkrecht auf diese. Damit $E\,$
wirklich eine Ebene ist, sollte natürlich wenigstens einer der Parameter
$a,b,c\,$ nicht Null sein.
Für einen Punkt $S(x_1|x_2|x_3) \in E$ gilt $ax_1+bx_2+cx_3=d\,.$ Nehmen wir mal
an, dass $a \not=0\,.$ Dann ist $S(\tfrac{d-bx_2-cx_3}{a}|x_2|x_3)\,,$ also
$$\overrightarrow{PS}=\vektor{\frac{d-bx_2-cx_3}{a}-u_1\\x_2-u_2\\x_3-u_3}\,,$$
und daher (jetzt berechnen wir die euklidische Länge von $\overrightarrow{PS}$)
$$|\overrightarrow{PS}|=\|\overrightarrow{PS}\|_2=\sqrt{{\Big(\frac{d-bx_2-cx_3}{a}-u_1\Big)}^2+{(x_2-u_2)}^2+{(x_3-u_3)}^2}\,.$$
Sei also $d(x_2,x_3):=|\overrightarrow{PS}|=\sqrt{{\Big(\frac{d-bx_2-cx_3}{a}-u_1\Big)}^2+{(x_2-u_2)}^2+{(x_3-u_3)}^2}\,.$
Wir definieren erstmal
$$f(x_2,x_3):={(d(x_2,x_3))}^2={\Big(\frac{d-bx_2-cx_3}{a}-u_1\Big)}^2+{(x_2-u_2)}^2+{(x_3-u_3)}^2}\,,$$
weil $d\,$ an genau den gleichen $(x_2,x_3)$ minimal wird, an denen $f\,$
dies wird, wir aber in $f\,$ die lästige Wurzel erspart haben.
Jetzt die Frage: Habt ihr schon Funktionen zweier Veränderlicher, insbesondere
in der Differenzialrechnung, behandelt? Falls nicht, müssen wir hier vielleicht
sukzessive minimieren (erst eine Variable - etwa $x_2$ - als Parameter festhalten
und dann die entsprechende Funktion minimieren und dann weitergucken...).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 19.05.2013 | | Autor: | Sussan |
Hallio Marcel
ich muss gestehen, dass wir doch Längen und Abstände von Geraden Ebenen etc... berechnet haben, aber der Name Euk... sagt mir nichts.Wir haben es Betrag von XY genannt.
So aber Funktionen mit zwei Veränderliche Variablen haben wir nich beandelt auch nicht in der diffrechnung.
Ich habe meinen Lehrer gefragt und er hatmir den Tip gegeben, dass es mit den Extempunkten der Funktion zu tun hat.
Nehmen wir mal die Funkton die du aufgesellt hast: wie kann ich mit der z.B extrempunkt berechnen.
Das ist meine Funktion
0x + 0y+52900z=0
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Hallo,
> ich muss gestehen, dass wir doch Längen und Abstände von
> Geraden Ebenen etc... berechnet haben, aber der Name Euk...
> sagt mir nichts.
Die Eukidische Norm heißt nach dem sagenumwobenen ![[]](/images/popup.gif) Euklid von Alexandria und man versteht darunter grob gesprochen diejenige Auffassung von der Länge einer Strecke, die unserer alltäglichen Vorstellung entspricht und die man mit dem Satz von Pathagoras berechnet. Wenn du bei einer solchen Frage keine weiteren Angaben zu deinen Vorkenntnissen machst, musst du halt damit rechnen, dass dir solche Fachbegriffe um die Ohren gehauen werden. 
> Wir haben es Betrag von XY genannt.
> So aber Funktionen mit zwei Veränderliche Variablen haben
> wir nich beandelt auch nicht in der diffrechnung.
Gut, dann wären mal die Voraussetzungen geklärt.
> Ich habe meinen Lehrer gefragt und er hatmir den Tip
> gegeben, dass es mit den Extempunkten der Funktion zu tun
> hat.
Ist das alles, was dein Lehrer gesagt hat? Denn es ist doch für eine mündliche Abi-Prüfung in meinen Augen eine ungewöhnliche und recht anspruchsvolle Aufgabenstellung.
> Nehmen wir mal die Funkton die du aufgesellt hast: wie
> kann ich mit der z.B extrempunkt berechnen.
Du könntest die Funktion von Marcel nach [mm] x_2 [/mm] ableiten und diese Ableitung gleich Null setzen. Das ergibt eine Gleichung mit den Variablen [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3. [/mm] Das gleiche machst du jetzt nochmal, aber diesmal leitest du nach [mm] x_3 [/mm] ab, dann bekommst du eine zweite solche Gleichung. Beide Gleichungen zusammen eregeben ein LGS, welches du löst und damit auch [mm] x_1 [/mm] berechnest. Jetzt musst du noch zeigen, dass der Vektor des erhaltenen Punktes zum Punkt P ein Normalenvektor der Ebene ist.
> Das ist meine Funktion
>
> 0x + 0y+52900z=0
Das ist keine Funktion und ergibt auch sonst keinerlei Sinn.
Eine weitere Möglichkeit wäre die folgende: Zunächst berechnest du mit den bekannten elemntaren Methoden die Koordinaten des Lotfußpunktes von P. Dann legst du eine Gerade durch diesen Lotfußpunkt, die in der Ebene E verläuft. Wenn du jetzt deine Betrachtung auf diese Gerade beschränkst, dann hängt deine Abstandsfunktion nur noch vom Parameter der Geradengleichung ab und somit nur von einer Variablen. Damit wäre es für dich 'ein ganz normales Extremwertproblem'. Die vorgenommene Einschränkung hat dabei keinerlei Einfluss auf die 'Beweiskraft', es ist einfach nur - vom Standpunkt der höheren mathematik aus gesehen - etwas umständlicher.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Sussan |
Hallo,
geht um meine mündliche abi prüfung.
in meine erste aufgabe muss ich mit der hesseschen normalform den abstand zwischen ebene ud punkt berecnen. da dieser Abstand immer der kürzeste ist, ist die Verbindungsgrade senkrecht (sklpr. =0).
Ich soll jetzt mit der Diff.rechnung bestätigen dass dieser weg der kürzeste ist.
Von den Eukal... habe ich noch nie was gehört. ...
LG
Sussan
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