Ebene in Normalform? < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 So 13.05.2007 | | Autor: | jane882 |
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und daraus eine Gleichung in Koordinatenform:
E = ( 2/1/2) + Lamnda (1/ 3/ 0)+ Mü ( -2/1/3)
Wir haben mit der Normalenform und Normalenvektor erst letzte Stunde angefangen Ich habe noch nicht wirklich verstanden, wie man jetzt eine Normalenform kriegt? Auf jeden Fall muss man die Ebenengleichung mit dem Normalvektor multiplizieren?
Und wie kriege ich den Normalenvektor raus :(
x= 2+ 1r-2s /*3
y= 1+3r+1s
z= 2+ 3s
3x= 6+3r-6s / 1.Gleichung-2 Gleichung
y= 1+3r+1s
3x-y= 5-7s /*3
z= 2+3s /*7
9x-y= 15-21s /1Gleichung + 2.Gleichung
7z= 14+21s
9x-y+7z= 29 ?
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Hallo,
als erstes bilden wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren (RVs) der Ebene. Das Ergebnis ist der gesuchte NV (Normalenvektor).
[mm] \vektor{1\\3\\0}\times\vektor{-2\\1\\3}=\vektor{9\\-3\\7} [/mm] ist der gesuchte Normalenvektor
E: [mm] \left(\vec{x}-SV\right)*NV=0 [/mm] ist ja Normalenform der Ebene... SV heißt Stützvektor zb: [mm] \vektor{2\\1\\2}
[/mm]
E: [mm] \left(\vec{x}-\vektor{2\\1\\2}\right)*\vektor{9\\-3\\7}=0 [/mm] jetzt für [mm] \vec{x}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] einsetzen
E: [mm] \left(\vektor{x\\y\\z}-\vektor{2\\1\\2}\right)*\vektor{9\\-3\\7}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] E: [mm] \vektor{x-2\\y-1\\z-2}*\vektor{9\\-3\\7}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] E: (x-2)*9-(y-1)*3+(z-2)*7=0
[mm] \gdw [/mm] E: 9x-18-3y+3+7z-14=0
[mm] \gdw [/mm] E: 9x-3y+7z=29 ist die gesuchte Koordinatenform der Ebene
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 13.05.2007 | | Autor: | jane882 |
man könnte aber auch erst die koordiantenform bestimmen und dann den normalenvektor?
wie bist du hier auf 9 -3 un 7 gekommen?
1*-2+3*1+0*3= 1 ? :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 So 13.05.2007 | | Autor: | jane882 |
hey:) ich habs jetzt verstanden, ich wusste vorher nicht was ein kreuzprodukt ist...habs bei wikipedia nachgeschaut, aber trotzdem noch ne frage, wenn man den normalenvektor hat, braucht man doch da nicht lange rechnen oder:( wenn der normalenvektor 2 1 3 ist, ist die koordinatenform: 2x+1y+3z ?
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Hallo,
klar.. die Vorfaktoren der Variablen bilden den Normalenvektor. Aber du vergisst das lineare Glied... das erhälst du nur durch Vereinfachen über den Weg mit der Normalenform (siehe meine erste Antwort)
[mm] ax+by+cz=\red{d}
[/mm]
Du musst ja dieses d berechnen! 
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo,
> man könnte aber auch erst die koordiantenform bestimmen und
> dann den normalenvektor?
du brauchst doch den Normalenvektor um die Koordinatenform zu bestimmen..
> wie bist du hier auf 9 -3 un 7 gekommen?
>
> 1*-2+3*1+0*3= 1 ? :(
...nein so nicht das was du hier machst wäre das Skalarprodukt 2er Vektoren (heißt so, weil das Ergebnis ein Skalar, also eine Zahl ist)
Ich habe das Kreuzprodukt berechnet!
[mm] \vmat{ \vec{i} & \vec{j}& \vec{k} \\ 1 & 3 &0 \\-2 & 1 & 3}
[/mm]
...diese Determinante berechnest du mit Hilfe der Sarrus-Regel..
Du kommst dann auf: [mm] 9\vec{i}-3\vec{j}+7\vec{k}.. [/mm] Das kannst du schreiben als [mm] \vektor{9\\-3\\7}
[/mm]
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 13.05.2007 | | Autor: | jane882 |
habe eine frage:(
also dasselbe soll ich jetzt mit der ebenengleichhung machen:
E:x= ( 6 9 1)+ r* (4 1 -4)+ s* (1 -2 -4)
ich habe beim kreuzprodukt -12 -20 und -9 raus:(
im buch haben die das raus:
4 -4 und 3 ? :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 So 13.05.2007 | | Autor: | Elph |
[mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] [mm] \times[/mm] [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -4 - 8 \\ -4 + 16 \\ -8 - 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] bzw. [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] (wenn du -1 ausklammerst)
Ich habe hier die Formel zur Berechnung des Vektorprodukts angewendet, hoffe, du kannst damit was anfangen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 13.05.2007 | | Autor: | jane882 |
ich hab gedacht ich kriege mit dem kreuzprodukt den normalvektor raus? jetzt mit dem vektorprodukt?? :( weiß gar nicht, was das ist.
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> ich hab gedacht ich kriege mit dem kreuzprodukt den
> normalvektor raus? jetzt mit dem vektorprodukt?? :( weiß
> gar nicht, was das ist.
Hi,
das ist dasselbe, das Produkt hat verschiedene Namen. Aber du brauchst nicht gezwungenermaßen das Kreuzprodukt. Erstelle folgendes LGS, da ja das Skalarprodukt des Normalenvektors mit beiden Richtungsvektoren der Ebene null ergeben muss:
[mm] \vmat{ &1x_{1} & +&3x_{2}&+&0x_{3}&=&0 \\ -&2x_{1} & +&1x_{2}&+&3x_{3}&=&0}
[/mm]
Da die Variablenzahl größer ist als die Gleichungszahl, setze eine Variable deiner Wahl gleich z.B. 1 (ist völlig egal, da es ja unendlich viele Normalenvektoren gibt) und löse das verbleibende LGS.
Dann in die bekannte Normalenvektorform
[mm] $$\left(\vec{x}-\vec{p}\right)\*\vec{n}=0$$
[/mm]
einsetzen. Dies dann ausmultiplizieren und du hast die Koordinatengleichung.
Grüße, Stefan.
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