Ebene durch drei Punkte < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die Punkte [mm] P_1=(5,1,2),P_2=(7,-1,3),P_3=(2,4,1).
[/mm]
a)Man gebe die Parameterform, die parameterfreie Form und die Hessesche Normalform der Ebene an, die durch die Punkte [mm] P_1,P_2,P_3 [/mm] geht.
b)Man bestimme die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.
c)Man bestimme die Schnittgerade der Ebene mit der [mm] x_1-x_2 [/mm] Koordinatenebene. (Parameterform angeben!)
d)In welchem Punkt durchstößt die Gerade durch den Punkt Q=(1,3,2) und mit Richtungsvektor [mm] \vec{r}=(1,1,1) [/mm] die Ebene? |
also gut ich versuch mich da mal schrittweise durchzuarbeiten, aufgabenteil a hab ich schon gelöst. aufgabenteil b brauch ich hilfe von euch aufgabenteil c und d da kümmer ich mich danach darum.
also aufgabe a):
mit Paramaterform ist doch die Paramaterdarstellung gemeint, oder?
Parameterdarstellung:
[mm] \vec{x}=\vec{P_1}+u*(\vec{P_2}-\vec{P_1})+v*(\vec{P_3}-\vec{P_1})
[/mm]
[mm] \vec{P_2}-\vec{P_1}=\vektor{7 \\ -1 \\ 3}-\vektor{5 \\ 1 \\ 2}=\vektor{2 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{P_3}-\vec{P_1}=\vektor{2 \\ 4 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 2}=\vektor{-3 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{5 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] u*\vektor{2 \\ -2 \\ 1}+v*\vektor{-3 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
Eine Ebene ist eindeutig bestimmt wenn [mm] P_2 \times P_3 \not=0
[/mm]
überpüfung:
[mm] \vektor{7 \\ -1 \\ 3} \times \vektor{2 \\ 4 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-13 \\ -1 \\ 30} \not= \vec{0} [/mm]
ist mit parameterfreier form die koordinatendarstellung gemeint?
Paramaterdarstellung [mm] \rightarrow [/mm] koordinatendarstellung
[mm] \vec{x}=\vec{P_1}+u*(\vec{P_2}-\vec{P_1})+v*(\vec{P_3}-\vec{P_1}) [/mm]
um die koordinatenform zu erhalten muss man die obere gleichung mit [mm] (\vec{P_2}\times\vec{P_3}) [/mm] multiplizieren
also erhält man:
[mm] (\vec{P_2}\times\vec{P_3})*\vec{x}=\vec{P_1}*(\vec{P_2}\times\vec{P_3})
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}*\vektor{-13 \\ -1 \\ 30}=\vektor{5 \\ 1 \\ 2}*\vektor{-13 \\ -1 \\ 30}
[/mm]
[mm] -13x_1-x_2+30x_3=-65-1+60
[/mm]
[mm] -13x_1-x_2+30x_3=-6
[/mm]
[mm] 13x_1+x_2-30x_3=6
[/mm]
Hessesche Normalform:
[mm] \vec{n}=\vektor{13 \\ 1 \\ -30}
[/mm]
[mm] |\vec{n}|=\wurzel{13x^2+1^2+(-30)^2}=\wurzel{200}
[/mm]
HNF: [mm] \bruch{13}{\wurzel{200}}+\bruch{1}{\wurzel{200}}-\bruch{30}{\wurzel{200}}=\bruch{6}{\wurzel{200}}
[/mm]
so das wäre meine lösung zu a) ist sie so richtig?
könnt ihr mir bei b) helfen?
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> Gegeben seien die Punkte
> [mm]P_1=(5,1,2),P_2=(7,-1,3),P_3=(2,4,1).[/mm]
>
> a)Man gebe die Parameterform, die parameterfreie Form und
> die Hessesche Normalform der Ebene an, die durch die Punkte
> [mm]P_1,P_2,P_3[/mm] geht.
> b)Man bestimme die Schnittpunkte der Ebene mit den
> Koordinatenachsen.
> c)Man bestimme die Schnittgerade der Ebene mit der [mm]x_1-x_2[/mm]
> Koordinatenebene. (Parameterform angeben!)
> d)In welchem Punkt durchstößt die Gerade durch den Punkt
> Q=(1,3,2) und mit Richtungsvektor [mm]\vec{r}=(1,1,1)[/mm] die
> Ebene?
> also gut ich versuch mich da mal schrittweise
> durchzuarbeiten, aufgabenteil a hab ich schon gelöst.
> aufgabenteil b brauch ich hilfe von euch aufgabenteil c und
> d da kümmer ich mich danach darum.
>
> also aufgabe a):
>
> mit Paramaterform ist doch die Paramaterdarstellung
> gemeint, oder?
>
>
> Parameterdarstellung:
>
> [mm]\vec{x}=\vec{P_1}+u*(\vec{P_2}-\vec{P_1})+v*(\vec{P_3}-\vec{P_1})[/mm]
>
> [mm]\vec{P_2}-\vec{P_1}=\vektor{7 \\ -1 \\ 3}-\vektor{5 \\ 1 \\ 2}=\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vec{P_3}-\vec{P_1}=\vektor{2 \\ 4 \\ 1}[/mm] - [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 2}=\vektor{-3 \\ 3 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{5 \\ 1 \\ 2}[/mm] + [mm]u*\vektor{2 \\ -2 \\ 1}+v*\vektor{-3 \\ 3 \\ -1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Eine Ebene ist eindeutig bestimmt wenn [mm]P_2 \times P_3 \not=0[/mm]
>
> überpüfung:
>
> [mm]\vektor{7 \\ -1 \\ 3} \times \vektor{2 \\ 4 \\ 1} =\vektor{-13 \\ -1 \\ 30} \not= \vec{0}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Eigentlich solltest Du dieses Vektorprodukt mit dem Richtungsvektoren, die Du soeben berechnet hast, bilden. Denn sonst steht der resultierende Normalenvektor nicht senkrecht zur Ebene.
> ist mit parameterfreier form die koordinatendarstellung
> gemeint?
ja.
>
> Paramaterdarstellung [mm]\rightarrow[/mm] koordinatendarstellung
>
> [mm]\vec{x}=\vec{P_1}+u*(\vec{P_2}-\vec{P_1})+v*(\vec{P_3}-\vec{P_1})[/mm]
>
>
> um die koordinatenform zu erhalten muss man die obere
> gleichung mit [mm](\vec{P_2}\times\vec{P_3})[/mm] multiplizieren
von der Grundidee her ist dies zwar richtig, aber Du musst hier mit dem Vektorprodukt der Richtungsvektoren [mm] $\vec{P}_2-\vec{P}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{P}_3-\vec{P}_1$ [/mm] multiplizieren.
>
> also erhält man:
>
> [mm](\vec{P_2}\times\vec{P_3})*\vec{x}=\vec{P_1}*(\vec{P_2}\times\vec{P_3})
[/mm]
Nein, das erhält man nicht: denn es braucht eben nicht zu gelten, dass [mm] $\vec{P_2}\times\vec{P_3}$ [/mm] sowohl zu [mm] $\vec{P}_2-\vec{P}_1$ [/mm] als auch zu [mm] $\vec{P}_3-\vec{P}_1$ [/mm] senkrecht steht, die entsprechenden Produkte auf der rechten Seite also einfach wegfallen, wie Du dies hier angenommen hast.
Der Rest ist deshalb leider falsch. Zur Kontrolle: die richtige Koordinatengleichung der Ebene lautet [mm] $E:\; x_1+x_2=6$
[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}*\vektor{-13 \\ -1 \\ 30}=\vektor{5 \\ 1 \\ 2}*\vektor{-13 \\ -1 \\ 30}[/mm]
>
> [mm]-13x_1-x_2+30x_3=-65-1+60[/mm]
> [mm]-13x_1-x_2+30x_3=-6[/mm]
>
> [mm]13x_1+x_2-30x_3=6[/mm]
>
>
> Hessesche Normalform:
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{13 \\ 1 \\ -30}[/mm]
>
> [mm]|\vec{n}|=\wurzel{13x^2+1^2+(-30)^2}=\wurzel{200}[/mm]
>
> HNF:
> [mm]\bruch{13}{\wurzel{200}}+\bruch{1}{\wurzel{200}}-\bruch{30}{\wurzel{200}}=\bruch{6}{\wurzel{200}}[/mm]
>
> so das wäre meine lösung zu a) ist sie so richtig?
>
>
> könnt ihr mir bei b) helfen?
b) ist simpel, wenn Du die (richtige) Koordinatengleichung [mm] $ax_1+bx_2+cx_3=d$ [/mm] der Ebene hast. Denn ein Schnittpunkt mit der [mm] $x_1$-Achse [/mm] muss [mm] $x_2$- [/mm] und [mm] $x_3$-Koordinate [/mm] gleich $0$ haben. Also muss für die Koordinaten eines solchen Punktes gelten: $a [mm] x_1+b\cdot 0+c\cdot [/mm] 0=d$. Woraus Du sogleich seine [mm] $x_1$-Koordinate [/mm] erhältst. Analog für die Schnittpunkte mit den anderen Koordinatenachsen (sofern sie überhaupt existieren).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Mo 04.08.2008 | | Autor: | weduwe |
du kannst doch nicht das kreuzprodukt von 2 PUNKTEN bilden,
bilde es von den beiden VEKTOREN
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also gut hier mein lösungsversuch der kompletten aufgabe:
a)
[mm] \vec{P_1}=\vektor{5 \\ 1 \\2}
[/mm]
[mm] \vec{P_2}=\vektor{7 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
[mm] \vec{P_3}=\vektor{2 \\ 4 \\ 1}
[/mm]
Parameterform:
[mm] E:\vec{x}=\vec{P_1}+u*(\vec{P_2}-\vec{P_1})+v*(\vec{P_3}-\vec{P_1})
[/mm]
[mm] \vec{P_2}-\vec{P_1}=\vektor{2 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{P_3}-\vec{P_1}=\vektor{-3 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
[mm] E:\vec{x}=\vektor{5 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] u*\vektor{2 \\ -2 \\ 1} +v*\vektor{-3 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
Vorraussetzung: [mm] (\vec{P_2}-\vec{P_1})\times(\vec{P_3}-\vec{P_1})\not=0
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1}\times\vektor{-3 \\ 3 \\ -1}=\vektor{-1 \\ -1 \\ 0} \not= \vec{0}
[/mm]
Paramterform [mm] \rightarrow [/mm] Paramaterfreieform:
Man multpliziert die Parameterdarstellung mit dem Normalenvektor.
[mm] \vec{x}=\vec{P_1}+u*(\vec{P_2}-\vec{P_1})+v*(\vec{P_3}-\vec{P_1}) [/mm]
[mm] (\vec{P_2}-\vec{P_1})\times(\vec{P_3}-\vec{P_1})*\vec{x}=\vec{P_1}*(\vec{P_2}-\vec{P_1})\times(\vec{P_3}-\vec{P_1})
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 0}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 2}*\vektor{-1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
[mm] -x_1-x_2=-5-1
[/mm]
[mm] E:x_1+x_2=6
[/mm]
Koordinatendarstellung [mm] \rightarrow [/mm] Hessesche Normalform:
Man dividiert die Koordinatendarstellung druch [mm] \wurzel{a^2+b^2+x^2} [/mm] und mache ggf. die rechte Seite durch Multiplikation mit -1 positiv.
[mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ 1 \\0}
[/mm]
[mm] |\vec{n}|=\wurzel{2}
[/mm]
HNF: [mm] \bruch{x_1}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{x_2}{\wurzel{2}}=\bruch{6}{\wurzel{2}} [/mm]
b)
Schnittpunkt mit [mm] x_1-Achse: x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] müssen null sein.
[mm] x_1+0=6
[/mm]
[mm] x_1=6
[/mm]
[mm] P_{x_1}=(6,0,0)
[/mm]
Schnittpunkt mit [mm] x_2-Achse: x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] müssen null sein.
0 + [mm] x_2=6
[/mm]
[mm] x_2=6
[/mm]
[mm] P_{x_2}=(0,6,0)
[/mm]
Schnittpunkt mit [mm] x_3-Achse [/mm] exisitiert nicht.
c)
Parameterdarstellung der [mm] x_1-x_2 [/mm] Ebene:
[mm] \vec{x}=s*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Paramterdarstellung der obigen Ebene:
[mm] \vec{x}=\vektor{5 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] u*\vektor{2 \\ -2 \\ 1} +v*\vektor{-3 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
[mm] s*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{5 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] u*\vektor{2 \\ -2 \\ 1} +v*\vektor{-3 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
[mm] s*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+ u*\vektor{-2 \\ 2 \\ -1} +v*\vektor{3 \\ -3 \\ 1}=\vektor{5 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
s -2u 3v =5
t 2u -3v =1
-u v=2
[mm] u=w\in\IR,beliebig
[/mm]
-u+v=2
v=2+u
v=2+w
t+2u-3v=1
t+2w-6-3w=1
t-w=7
t=7+w
s-2u+3v=5
s-2w+6+3w=5
s+w=-1
s=-1-w
eingesetzt in eine der beiden Ebenengleichungen.
[mm] \vec{x}=(-1-w)*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] (7+w)*\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 7 \\ 0}+w*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
d)
formel:
Der Durchstoßpunkt von g: [mm] \vec{x}=\vec{a}+t\vec{b} [/mm] und [mm] E:\vec{x}\vec{n}=d [/mm] ist
[mm] \vec{x_0}=\vec{a}+t_0*\vec{b}
[/mm]
mit
[mm] t_0=\bruch{d-\vec{a}\vec{n}}{\vec{b}\vec{n}}
[/mm]
für [mm] \vec{b}\vec{n} \not=0 [/mm]
Geradengleichung für den Punkt Q:
Q(1/3/2) mit richtung (1/1/1)
[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 3 \\ 2} +t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Durchstoßpunkt:
[mm] \vec{x_0}=\vektor{1 \\ 3 \\ 2} +t_0*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] t_0=\bruch{6-\vektor{1 \\ 3 \\2}*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}}{\vektor{1 \\ 1 \\ 1} * \vektor{1 \\ 1 \\ 0}} [/mm] = 1
[mm] \vec{x_0}=\vektor{1 \\ 3 \\ 2}+1*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{2 \\ 4 \\3} [/mm]
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 06.08.2008 | | Autor: | weduwe |
ja, alles richtig,
aber manches sehr kompliziert und gewöhnungsbedürftig.
z.b. schnittgerade:
[mm] E_1: x+y=6\to [/mm] x=t [mm] \quad{ }y=6-t
[/mm]
[mm] E_2: [/mm] z=0
und damit bekommst du sofort die schnittgerade:
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\6\\0}+t\vektor{1\\-1\\0}
[/mm]
auch die HNF schreibt man gewöhnlich mit einem bruchstrich
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Mi 06.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
danke fürs durchschauen und für den tipp.
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