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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Mi 03.02.2010 | | Autor: | thaaab |
Hi,
ich hab da mal ne Frage weil ich morgen Klausur schreib...
Seien E1 = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -1 } [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2} [/mm] + t [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
E2 = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1} [/mm] + u [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + v [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Wenn ich jetzt die Schnittgerade berechnen will setz ich entweder gleich und lös mein Gleichungssystem oder ich schreib die Ebenen in Normalform.
Dazu berechne ich mir meine Normalenvektoren zu den jeweils 2 Richtungsvektoren der Ebene und normier die gleich. Die sehen dann so aus.
E1Normalenvektor = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
E2Normalenvektor = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -2} [/mm] * (1/3)
Also
E1 = -x2 = d durch einsetzen eines punktes krieg ich d = 0
E2 = (1/3)(x1-2x2-2x3) = d punkt einsetzen d = 0
jetzt hab ich ein LGS mit 3 Variablen und 2 Bedingungen.
Kann mir also eine Lösung frei wählen.
--> x3 = t --> x2 = 0 --> x1 = 2t
[mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] = t [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] = Schnittgerade
Die Lösung meines Profs sagt aber
Schnittgerade = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Wenn das jetzt ne Matrix wäre würde ich sagen die sind linear abhängig und ich schmeis einfach ein [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] raus aber geht das in der Parameterform auch ? Wenn man sichs mal bildlich vorstellt gehen beide geraden also sowohl meine als auch die mit dem aufpunkt [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] durch den Ursprung und haben den selben Richtungsvektor. Wie kann ich das aber mathematisch begründen, wenn mans mal nicht so direkt sieht ? Im Prinzip hab ich ja jetzt eine Dimension....
Naja für Hilfe wär ich sehr dankbar...
MfG Sebastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Mi 03.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier hast du den Sonderfall, dass der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches (hier sogar komplett identisch) mit dem Stützvektor ist.
Dann kannst du diese Vektoren noch zusammenfassen und den Parameter dann anpassen.
Die Lösung deines Profs
[mm] \vektor{2\\0\\1}+s*\vektor{2\\0\\1}
[/mm]
[mm] (1+s)*\vektor{2\\0\\1}
[/mm]
Setze nun t:=1+s, und du hast deine Lösung.
Wenn man jetzt deutlich machen will, das das eine Gerade ist, kannst du noch den Nullvektor (den Orsvektor des Ursprungs) also Stützvektor hinschreiben, also:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+t*\vektor{2\\0\\1}
[/mm]
Anderes Beispiel:
$$ [mm] h:\vec{x}=\vektor{-3\\0\\-1,5}+t*\vektor{2\\0\\1} [/mm] $$
$$ [mm] =-1,5*\vektor{2\\0\\1}+t*\vektor{2\\0\\1} [/mm] $$
$$ [mm] =(-1,5+t)*\vektor{2\\0\\1}$$
[/mm]
$$ [mm] \stackrel{s:t-1,5}{=}s*\vektor{2\\0\\1} [/mm] $$
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Mi 03.02.2010 | | Autor: | thaaab |
Sehr schöne Antwort, danke!
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