Ebene Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Fr 09.03.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren
[mm] \vec{v}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
[mm] \vec{w}=\vektor{3 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Gesucht ist diejenige Gerade, die in einer Ebene mit [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w} [/mm] liegt und die den Winkel zwischen [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w} [/mm] halbiert. |
Hi,
brauch wieder mal Hilfe mit ner Aufgabe. Was bisher geschah:
Hab die Ebenengleichung aufgestellt:
[mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\mu\vektor{3 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Dann den Winkel zwischen [mm] \vec{w} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] berechnet:
[mm] \bruch{\vektor{1 \\ 2 \\ 3}*\vektor{3 \\ -1 \\ 2}}{\wurzel{14}*\wurzel{14}}
[/mm]
Ergibt:
[mm] cos\bruch{1}{2}=60°
[/mm]
Jetzt brauch ich ne Gerade die zum einen in der Ebene liegt und zum andern den Winkel halbiert. Wie gehts weiter?
Danke für eure Hilfe!
Gruß Stefan
|
|
| |
|
Hallo polyurie,
> Gegeben seien die Vektoren
> [mm]\vec{v}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> [mm]\vec{w}=\vektor{3 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
> Gesucht ist diejenige Gerade, die in einer Ebene mit
> [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]\vec{w}[/mm] liegt und die den Winkel zwischen
> [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]\vec{w}[/mm] halbiert.
> Hi,
> brauch wieder mal Hilfe mit ner Aufgabe. Was bisher
> geschah:
> Hab die Ebenengleichung aufgestellt:
> [mm]\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\mu\vektor{3 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
> Dann den Winkel zwischen [mm]\vec{w}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] berechnet:
> [mm]\bruch{\vektor{1 \\ 2 \\ 3}*\vektor{3 \\ -1 \\ 2}}{\wurzel{14}*\wurzel{14}}[/mm]
>
> Ergibt:
> [mm]cos\bruch{1}{2}=60°[/mm]
>
> Jetzt brauch ich ne Gerade die zum einen in der Ebene liegt
> und zum andern den Winkel halbiert. Wie gehts weiter?
> Danke für eure Hilfe!
>
Such dir 'nen Vektor, der "zwischen" [mm] $\vec [/mm] v$ und [mm] $\vec [/mm] w$ liegt: z.B. [mm] $\vec v+\vec [/mm] w$
(denk mal an ein Kräfteparallelogramm)
und bestimme damit die gesuchte Gerade...
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Fr 09.03.2007 | | Autor: | polyurie |
Alles klar hat wunderbar geklappt. Danke!
Mich würde jetzt aber noch interessieren ob es auch noch einen anderen Lösungsweg gibt. Was wäre z. B. wenn ein Winkel von 45 Grad zu einem der Richtungsvektoren gesucht wäre?
|
|
|
| |
|
Wenn beide Vektoren nicht gleich lang gewesen wären, wäre die Summe nicht die Winkelhalbierende gewesen! Bezeichnet a die Länge von [mm] \vec{a} [/mm] und b die Länge von [mm] \vec{b}, [/mm] so gibt [mm] b*\vec{a}+a*\vec{b} [/mm] die Richtung der Winkelhalbierenden an (beide Summanden haben durch den Vorfaktor dieselbe Länge).
Nun Zu deiner Zusatzfrage. Präzisierung: Gegeben Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}. [/mm] Gesucht: Vektor [mm] \vec{c}, [/mm] der in der selben Ebene wie [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] liegt und zu [mm] \vec{a} [/mm] einen Winkel [mm] \alpha [/mm] bildet.
Bilde [mm] \vec{x}=(\vec{a}\vec{b})\vec{a}-a^{2}\vec{b}. [/mm] Dabei steht in der Klammer das Skalarprodukt, also eine Zahl.
Für [mm] \vec{x} [/mm] gilt:
1. [mm] \vec{x} [/mm] ist Linearkombination von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}
[/mm]
2. [mm] \vec{x}*\vec{a}=0. [/mm] (wegen [mm] \vec{a}*\vec{a}=a^{2})
[/mm]
Damit liegt [mm] \vec{x} [/mm] in der selben Ebene wie [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] und steht senkrecht auf [mm] \vec{a}.
[/mm]
Male dir das nun auf, insbesondere die nächsten Überlegungen.
Legt man nun [mm] \vec{x} [/mm] an die Spitze von [mm] \vec{a}, [/mm] so bildet die Summe [mm] \vec{a}+\vec{x} [/mm] mit [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] ein rechtwinkliges Dreieck mit tan [mm] \alpha [/mm] = x/a.
Will man einen bestimmten Winkel [mm] \alpha [/mm] haben, so verlängert oder verkürzt man [mm] \vec{x} [/mm] auf [mm] \vec{c}= k*\vec{x} [/mm] und wählt k so, dass tan [mm] \alpha [/mm] = c/a ist. Dann bildet [mm] \vec{a}+ \vec{c} [/mm] mit [mm] \vec{a} [/mm] den Winkel [mm] \alpha.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:45 Sa 10.03.2007 | | Autor: | polyurie |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Werd jetzt erstmal schlafen und morgen darüber nachdenken. Danke nochmals!!!
|
|
|
| |
|
Falls du das Skalarprodukt noch nicht kennst, kannst du mit den Ausführungen zu deiner zweiten Frage noch nichts anfangen.
|
|
|
|
