Ebene - Problem < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Liebe User, ich bin etwas überfragt 
Wiedermal fängt meine LETZTE Klausur in Mathe an und ich stehe aufm Schlauch. . .
... und zwar : Die a) ist ein Witz, aber die b) macht es mir etwas schwer! Denn: Gesucht seien ja die Eigenvektoren und Eigenwerte dieser Ebene.
Nun hab ich sie in der Punkt-Richtungs-Form angegeben, und könnte z.B. 2 Spannvektoren als ein Erzeugendensystem R² betrachten, aber wie mache ich denn da die Eigenwerte ?
Die Ebene ist ja nunmal 2 Dimensional, aber wie bestimme ich die ? Dann müsste eine Komponente doch wegfallen... oder ?
Liebe User, ich weiß, dass sowas NICHT in die Schulrubrik gehärt, aber ich habe sonst keinen passenderen Forumzweig finden können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Sa 28.02.2009 | | Autor: | pelzig |
Also anschaulch ist doch klar was die Eigenvektoren und Eigenwerte einer Spiegelung sind. Vektoren in der Ebene werden auf sich selbst abgebildet, d.h. E ist der (2-dimensionale) Eigenraum zum Eigenwert 1, und Vektoren senkrecht zu E bilden den 1-dim. Eigenraum zum Eigenwert -1.
Gruß, Robert
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Hallo Robert,
wie ich sehe, hast Du es voll drauf ! RESPEKT !! !
Vielen Dank für Deine Antwort, allerdings hast Du meinen Wissensbereich etwas überschätzt.
Ich kann z.B. überhaupt nicht einsehen , warum in einer Ebene die Vektoren auf sich selber abgebildet werden. Zumal verstehe ich nicht, warum aus dem char. Polynom einzig 1 ODER -1 rauskommen.
Könntest Du BITTE noch etwas genauer darauf eingehen ?
Beste Grüße,
Denis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 Sa 28.02.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ich kann z.B. überhaupt nicht einsehen , warum in einer
> Ebene die Vektoren auf sich selber abgebildet werden.
Ich habe mich vollkommen auf die Anschauung gestützt. Wenn ich punkte im [mm] $R^3$ [/mm] an einer durch den Nullpunkt verlaufenden Ebene E spiegle, dann ist doch (anschaulich!) klar, dass mit den Punkten, die in E liegen gar nix passiert beim Spiegeln und die Punkte, deren Ortsvektor genau senkrecht zu E stehen, einfach mit -1 multipliziert werden.
Wie du schon bemerkt hast ist das natürlich vollkoemmen unmathematisch, die Eigenwerte sind die Nullstellen des char. Polynoms - es ist vollkommen unklar warum da überhaupt nur 1 und -1 rauskommen kann. Ja - aber das Problem liegt halt darin, dass es hier mathematisch nix zu beweisen gibt, solange man nicht definiert, was "die Spiegelung am Unterraum E" sein soll.
Man könnte es z.B. einfach definieren als diejenige lineare Abbildung [mm] $\Phi:\IR^3\to\IR^3$ [/mm] mit [mm] $\Phi|_E=id_E$ [/mm] und [mm] $\Phi|_{E^\perp}=-id_{E^\perp}$ [/mm] - dass es soetwas gibt und dass diese Abbildung dadurch eindeutig bestimmt ist, muss man dann erstmal beweisen. Warum diese Definition geometrisch sinnvoll ist, ist wieder ne ganz andere Frage.
Gruß, Robert
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Bitte lach nicht, aber könntest Du Deine Theorie von Spiegeln eines Punktes in der Ebene irgendwie skizzieren ?
BITTE - es würde viel viel Aufwand ersparen. Ich verstehe nähmlich überhaupt nicht, warum ein gespiegelter Vektor sich nicht von seinem Spiegelbild unterscheidet.
Beste Grüße,
Denis
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> Bitte lach nicht, aber könntest Du Deine Theorie von
> Spiegeln eines Punktes in der Ebene irgendwie skizzieren ?
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> BITTE - es würde viel viel Aufwand ersparen. Ich verstehe
> nähmlich überhaupt nicht, warum ein gespiegelter Vektor
> sich nicht von seinem Spiegelbild unterscheidet.
Hallo,
Hast Du 'nen Spiegel in Bad?
Nimm Klebefilm und kleb' einen Stohhalm drauf.
Wenn Du nun in den Spiegel schaust, stellst Du fest, daß jeder Punkt des Raumes auf einen Punkt "hinter dem Spiegel" abgebildet wird. Nur der Strohhalm nicht. Der bleibt bei der Spiegelung an Ort und Stelle.
Gruß v. Angela
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