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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Mi 26.11.2008 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | 3. Wir betrachten die Ebene E in [mm] R^3, [/mm] gegeben durch [mm] x_{2}= x_{3}, [/mm] und die lineare Abbildung
F : [mm] R^3 \rightarrow R^3, [/mm] die jedes x [mm] \in R^3 [/mm] orthogonal auf E projiziert.
a) Durch welche Matrix A wird F beschrieben?
b) Bestimmen Sie KernA und dim(KernA).
c) Bestimmen Sie BildA und dim(BildA).
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Normalerweise hat mein z.B.: x= [mm] \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \rightarrow x'=\begin{pmatrix} x_{2} \\ -x_{1} \end{pmatrix}.
[/mm]
Also ich weiß, dass x= [mm] \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} [/mm] und da [mm] x_{2}= x_{3} [/mm] ist hab ich dann:
[mm] x=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{2} \end{pmatrix}.
[/mm]
Ich weiß jetzt bloß nicht was mein x' ist.
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte, danke und lg
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> 3. Wir betrachten die Ebene E in [mm]R^3,[/mm] gegeben durch [mm]x_{2}= x_{3},[/mm]
> und die lineare Abbildung
> F : [mm]R^3 \rightarrow R^3,[/mm] die jedes x [mm]\in R^3[/mm] orthogonal
> auf E projiziert.
> a) Durch welche Matrix A wird F beschrieben?
> b) Bestimmen Sie KernA und dim(KernA).
> c) Bestimmen Sie BildA und dim(BildA).
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Hallo,
Du kennst ja den Normalenvektor n der Ebene.
Finde zwei linear unabhängige, dazu senkrechte Vektoren [mm] v_1, v_2. [/mm] Damit hast Du eine dem Problem angepaßte Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Du kennst dann [mm] F(v_1), [/mm] F( [mm] v_2), [/mm] F(n) und kannst Dir daraus das Bild von F auf den Standardeinheitsvektoren berechnen und die matrix bzgl der Standardeinheitsvektoren aufstellen.
Kern und Bild der orthogonalen Projektion kann man eigentlich gleich so hinschreiben wenn man die Abbildung begriffen hat.
Welche Vektoren verschwinden? Was ist das Bild?
Gruß v. Angela
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