E[X] geometrischer Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Do 04.12.2008 | | Autor: | Maste |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zufallsvariable X |
Ich komme bei zwei verschiedenen Varianten auf zwei verschiedene Ergebnisse. Wo liegt mein Fehler?
Der Ansatz ist bei beiden derselbe:
[mm] E[X]=\summe_{k=1}^{\infty}k*(1-p)^{k-1}*p
[/mm]
[mm] =p*\summe_{k=1}^{\infty}k*(1-P)^{k-1}
[/mm]
[mm] =p*\bruch{d}{dp}\summe_{k=0}^{\infty}(1-p)^{k}
[/mm]
So weit, so gut.
1.) Wenn ich jetzt so weiterrechne bekomme ich:
[mm] =p*\bruch{d}{dp}\bruch{1}{p}
[/mm]
[mm] =p*\bruch{-1}{p^{2}}=-\bruch{1}{p}
[/mm]
2.) Wähle ich jedoch (wie in den Lehrbüchern z.B. von Georgii) q=(1-p), bekomme ich folgendes:
[mm] p*\bruch{d}{dq}\summe_{k=0}^{\infty}q^{k}
[/mm]
[mm] =p*\bruch{d}{dq}\bruch{1}{1-q}
[/mm]
[mm] =p*\bruch{1}{(1-q)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{p}{p^{2}}=+\bruch{1}{p}
[/mm]
Die zweite Version müsste stimmen, wieso bekomme ich bei der 1. Variante das falsche Vorzeichen heraus?
Die Antwort ist sicher ganz leicht, ich komm bloß momentan nicht drauf!
Vielen Dank für die Hilfe!
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Do 04.12.2008 | | Autor: | felixf |
Moin
> Berechnen Sie den Erwartungswert einer geometrisch
> verteilten Zufallsvariable X
> Ich komme bei zwei verschiedenen Varianten auf zwei
> verschiedene Ergebnisse. Wo liegt mein Fehler?
>
> Der Ansatz ist bei beiden derselbe:
> [mm]E[X]=\summe_{k=1}^{\infty}k*(1-p)^{k-1}*p[/mm]
> [mm]=p*\summe_{k=1}^{\infty}k*(1-P)^{k-1}[/mm]
> [mm]=p*\bruch{d}{dp}\summe_{k=0}^{\infty}(1-p)^{k}[/mm]
Erstmal: [mm] $\frac{d}{d p} [/mm] (1 - [mm] p)^k [/mm] = -k (1 - [mm] p)^{k-1}$, [/mm] womit du $E[X] = [mm] -p*\bruch{d}{dp}\summe_{k=0}^{\infty}(1-p)^{k}$ [/mm] hast.
> So weit, so gut.
>
> 1.) Wenn ich jetzt so weiterrechne bekomme ich:
> [mm]=p*\bruch{d}{dp}\bruch{1}{p}[/mm]
> [mm]=p*\bruch{-1}{p^{2}}=-\bruch{1}{p}[/mm]
Da du in beiden Zeilen ein - davorsetzen musst, kommt am Ende [mm] $\frac{1}{p}$ [/mm] raus. Abgesehen davon stimmt's aber.
> 2.) Wähle ich jedoch (wie in den Lehrbüchern z.B. von
> Georgii) q=(1-p), bekomme ich folgendes:
> [mm]p*\bruch{d}{dq}\summe_{k=0}^{\infty}q^{k}[/mm]
> [mm]=p*\bruch{d}{dq}\bruch{1}{1-q}[/mm]
> [mm]=p*\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{p}{p^{2}}=+\bruch{1}{p}[/mm]
Nun, das stimmt so. Die erste Zeile, $p [mm] \frac{d}{d q} \sum_{k=0}^\infty q^k$, [/mm] ist allerdings nicht gleich $p [mm] \frac{d}{d p} \sum_{k=0}^\infty q(p)^k$! [/mm] Du musst [mm] $\frac{d}{d p}$ [/mm] durch [mm] $\frac{d}{d q}$ [/mm] richtig ersetzen, indem du $p = 1 - q$ beachtest: es ist ja [mm] $\frac{d p}{d q} [/mm] = -1$ (einfach $p(q) = 1 - q$ nach $q$ ableiten), womit [mm] $\frac{1}{d p} [/mm] = -1 [mm] \cdot \frac{d p}{d q} \cdot \frac{1}{d p} [/mm] = [mm] -\frac{1}{d q}$ [/mm] ist.
Also ist $E[X] = -p [mm] \cdot [/mm] (-1) [mm] \frac{1}{d q} \frac{1}{1 - q} [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] \frac{1}{p}$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Do 04.12.2008 | | Autor: | Maste |
Jetzt ist alles klar! Vielen Dank für die schnelle Antwort!
LG Martin
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