E(Sum(x)) gleich Sum(E(x)) < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:50 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Druss |
| Aufgabe | | keine konkrete Aufgabenstellung nur Verständnisfrage |
Unzwar wenn ich die Eigenschaften einer Zufallsvariable berechne z.B. den Mittelwert (ZV weil die erhobenen Werte auch ZV sind)
Sagen wir haben eine Strp gezogen 1,2,3
E( [mm] \bruch{1}{3} \summe_{i=1}^{3} x_{i}) [/mm] = E( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] (1+2+3)) =E(2) = 2
Da der Erwartungswert der Summe von n Zufallsvariablen (Xi)sich auch als die Summe der einzelnen Erwartungswerte schreiben lässt:
E( [mm] \bruch{1}{3} \summe_{i=1}^{3} x_{i}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \summe_{i=1}^{3} [/mm] E( [mm] x_{i})
[/mm]
Kann hier ja [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ausklammern weil der Erwartungswert einer konstanten ist die konstante selber. Nun weiter:
Da jede Erhebung der Stichprobe ja den selben Erwartungswert hat kann man wiederum schreiben:
[mm] \bruch{1}{3}(2+2+2) [/mm] = 2
Ist dies soweit korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:16 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> keine konkrete Aufgabenstellung nur Verständnisfrage
> Unzwar wenn ich die Eigenschaften einer Zufallsvariable
> berechne z.B. den Mittelwert (ZV weil die erhobenen Werte
> auch ZV sind)
Ok.
> Sagen wir haben eine Strp gezogen 1,2,3
Was auch immer das sein soll.
> E( [mm]\bruch{1}{3} \summe_{i=1}^{3} x_{i})[/mm] = E( [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> (1+2+3)) =E(2) = 2
Wieso kommst du von [mm] $\sum_{i=1}^3 x_i$ [/mm] auf $1 + 2 + 3$?
> Da der Erwartungswert der Summe von n Zufallsvariablen
> (Xi)sich auch als die Summe der einzelnen Erwartungswerte
> schreiben lässt:
>
> E( [mm]\bruch{1}{3} \summe_{i=1}^{3} x_{i})[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} \summe_{i=1}^{3}[/mm]
> E( [mm]x_{i})[/mm]
Ja: der Erwartungswert ist [mm] $\IR$-linear.
[/mm]
> Kann hier ja [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ausklammern weil der
> Erwartungswert einer konstanten ist die konstante selber.
Es ist zwar $E(c) = c$ fuer eine Konstante $c$, allerdings ist das nicht (direkt) der Grund, warum $E(c X) = c E(X)$ fuer eine Konstante $c$ und eine ZV $X$ ist.
> Nun weiter:
>
> Da jede Erhebung der Stichprobe ja den selben
> Erwartungswert hat kann man wiederum schreiben:
>
> [mm]\bruch{1}{3}(2+2+2)[/mm] = 2
>
> Ist dies soweit korrekt?
Wenn [mm] $E(X_i) [/mm] = 2$ ist, ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Druss |
Ich glaube ich verstehe nicht ganz was linearität des Erwartungswertes ist und wie ich diesem ausnutzen kann, sodass ich e(sum(x)) = sum(e(x)) schreiben kann.
habe heute nochmal jmd in der uni gefragt und dieser meinte zu mir - weiß nicht ob der ganz verstanden hat was ich wollte - aber, dass ich das so verstehen kann:
Für eine Stichprobe: 1,2,3 will ich die Eigenschaft meiner Zufallsvariable [mm] \overline{x} [/mm] bestimmen. Will also gucken ob [mm] \mu [/mm] der Erwartungswert ist also der Erwartungswert einer Normalverteilten Variable.
[mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i})
[/mm]
[mm] E(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i})) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(E(x_{i})) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{n}n\mu= \mu
[/mm]
Nun dachte ich, dass ich [mm] E(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i})) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(E(x_{i})) [/mm] schreiben kann weil wenn man sich ein einfaches Beispiel konstruiert zb mit einer Strp: 1+2+3
[mm] E(\bruch{1}{3}(1+2+3)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\summe_{i=1}^{n}(E(x_{i}))
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}(E(1)+E(2)+E(3))
[/mm]
da E(1)=1, E(2)=2, E(3)=3 ist kann man doch nun wieder schreiben:
[mm] \bruch{1}{3}(1+2+3) [/mm] = 2
komme somit aufs gleiche Ergebnis wenn ich
[mm] E(\bruch{1}{3}(1+2+3) [/mm] = E(2)=2 rechnen würde.
Stimmt das so ?
mfg felix :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich glaube ich verstehe nicht ganz was linearität des
> Erwartungswertes ist und wie ich diesem ausnutzen kann,
> sodass ich e(sum(x)) = sum(e(x)) schreiben kann.
Weisst du, was Linearitaet bedeutet? Gerade dass $E(a X + b Y) = a E(X) + b E(Y)$ ist. Wenn du das zweimal auf $E(a X + b Y + c Z)$ anwendest, bekommst du wieder $a E(X) + b E(Y) + c E(Z)$. und wenn du es $n - 1$-mal auf [mm] $E(\sum_{i=1}^n a_i X_i)$ [/mm] anwendest, bekommst du [mm] $\sum_{i=1}^n a_i E(X_i)$.
[/mm]
> habe heute nochmal jmd in der uni gefragt und dieser meinte
> zu mir - weiß nicht ob der ganz verstanden hat was ich
> wollte - aber, dass ich das so verstehen kann:
>
> Für eine Stichprobe: 1,2,3 will ich die Eigenschaft meiner
> Zufallsvariable [mm]\overline{x}[/mm] bestimmen. Will also gucken ob
> [mm]\mu[/mm] der Erwartungswert ist also der Erwartungswert einer
> Normalverteilten Variable.
Was genau willst du tun? Du hast eine Stichprobe und willst wissen wie man den Erwartungwert schaetzen kann?
> [mm]\overline{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i})[/mm]
>
> [mm]E(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(E(x_{i}))[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n}n\mu= \mu[/mm]
Ja, wenn [mm] $x_1, \dots, x_n$ [/mm] alle Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] haben.
> Nun dachte ich, dass ich
> [mm]E(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(E(x_{i}))[/mm] schreiben kann
Ja, das kann man. DAs hast du oben och auch gemacht.
> weil wenn man sich ein einfaches Beispiel konstruiert zb mit
> einer Strp: 1+2+3
Strp = Stichprobe?
> [mm]E(\bruch{1}{3}(1+2+3))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}\summe_{i=1}^{n}(E(x_{i}))[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}(E(1)+E(2)+E(3))[/mm]
Was soll das darstellen? Du kannst nicht einfach Zufallsvariablen durch konkrete Werte ersetzen und dann hoffen, dass dies gleich dem Erwartungswert der Zufallsvariable ist.
> da E(1)=1, E(2)=2, E(3)=3 ist kann man doch nun wieder
> schreiben:
>
> [mm]\bruch{1}{3}(1+2+3)[/mm] = 2
>
> komme somit aufs gleiche Ergebnis wenn ich
>
> [mm]E(\bruch{1}{3}(1+2+3)[/mm] = E(2)=2 rechnen würde.
Nun, du kannst natuerlich den Erwartungswert der Zufallsvariablen [mm] $\frac{1}{3}(1 [/mm] + 2 + 3)$ ausrechnen, und da kommt auch 2 raus, nur: was willst du damit? Dies sagt dir naemlich ueberhaupt nichts ueber [mm] $x_i$ [/mm] oder [mm] $\overline{x}$ [/mm] aus.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:47 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Druss |
Mit dem Beispiel habe ich nur versucht zu begreifen wieso ich da entsprechend umformen kann.
E(a X + b Y) = a E(X) + b E(Y)
sind X und Y unterschiedliche Stichproben oder einfach nur Variablen für belibige Werte?
Wenn Variablen dann kann ich das doch bei einer strp. von 1, 2 so sehen:
E(1*1 + 1*2) = 1 E(1) + 1 E(2)
Nun ob ich das nun richtig verstehe:
wenn ich obige Strp als Beispiel nehme dann hat gerade jede Erhebung der Strp den gleichen Erwartungswert wie jede andere Erhebung also in unsrem Fall
E(1) = 1,5
E(2) = 1,5
Habe mir so ein Beispiel konstruiert wie in meinem ersten Post beschrieben bin jedoch verwirrt ob ich das wirklich so machen kann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 23.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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