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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mi 21.11.2012 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | Lösen Sie [mm] exp(a)*(a^2-a+1)=exp(1) [/mm] |
Ich habe keine Ahnung. Ich sehe a=1 löst. Aber wie rechne ich das, ohne Logik oder Annahmen, die man kennen muss?
Danke!
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Hallo domerich,
> Lösen Sie [mm]exp(a)*(a^2-a+1)=exp(1)[/mm]
> Ich habe keine Ahnung. Ich sehe a=1 löst. Aber wie rechne
> ich das, ohne Logik oder Annahmen, die man kennen muss?
Solche Gleichungen kannst du im Allgemeinen nicht analytisch nach [mm]a=...[/mm] auflösen, das geht nur näherungsweise, indem du die Funktion
[mm]f(a)=\exp(a)(a^2-a+1)-\exp(1)[/mm] betrachtest und etwa mit dem Newtonverfahren (oder irgendeinem anderen Näherungsverfahren deiner Wahl) eine (die) Nullstelle(n) näherungsweise bestimmst.
Hier hast du "Glück", dass du auf einen Blick [mm]a=1[/mm] als Lösung siehst, aber analytisch ist nix zu machen ...
>
> Danke!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 21.11.2012 | | Autor: | domerich |
Danke. Aber ist das nicht ein bisschen krass für Oberstufe?
Ich bin in der c) darauf gestoßen. http://www.imagebanana.com/view/43fkwfg3/mathe02.jpg
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Hi,
> Danke. Aber ist das nicht ein bisschen krass für
> Oberstufe?
Nö, wieso? Einfach mal draufglotzen und dann die Stelle finden.
Ich nehme an, ihr hattet auch Polynome dritter Ordnung. Da hat man auch eine Nullstelle gesucht. Da gab es zwar Hinweise durch das Absolutglied, aber dennoch musste man die Stelle erst einmal erraten.
>
> Ich bin in der c) darauf gestoßen.
> http://www.imagebanana.com/view/43fkwfg3/mathe02.jpg
Was noch geht:
$ [mm] exp(a)\cdot{}(a^2-a+1)=1*exp(1) [/mm] $
Da sieht man
(I) $a=1$
(II) [mm] a^2-a+1=1
[/mm]
(I) und (II) muss erfüllt sein. Und offensichtlich ist das wegen (I) sowieso nur für a=1 erfüllt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 21.11.2012 | | Autor: | domerich |
Hi, kannst du das genauer erklären, wie man das "sieht"? Danke
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Hi,
> $ [mm] (a^2-a+1)*exp(a)=1\cdot{}exp(1) [/mm] $
[mm] (a^2-a+1) [/mm] ist sowas wie der Koeffizient vor der Zahl e. Man zerrt das ganze also sozusagen auseinander.
Man vergleicht einfach die linke mit der rechten Seite. Man schaut, wo ähnliche Strukturen auftauchen.
> Da sieht man
> (I) a=1
> (II) $ [mm] a^2-a+1=1 [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mi 21.11.2012 | | Autor: | domerich |
das würde ich verstehen wenn das e auf beiden seiten den gleichen exponent hätte. Aber so versteh ich es nicht :(
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Dann überlege dir doch mal folgendes:
[mm] e^x=e^3
[/mm]
Für welche x ist das erfüllt? Offensichtlich ja auch nur für x=3.
Das ist doch das identische Prinzip wie hier
exp(1)=exp(a)
Das ist offensichtlich nur für a=1 wahr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 21.11.2012 | | Autor: | domerich |
ok ja, das ist nur für x=1 wahr, aber man weiß ja erstmal nicht was der Koeffizient macht. Aber man kann so anfangen und gucken was passiert. Das ist nicht dumm, ja :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> ok ja, das ist nur für x=1 wahr, aber man weiß ja erstmal
> nicht was der Koeffizient macht.
Deswegen gab es ja noch die zweite Gleichung.
> Aber man kann so anfangen
> und gucken was passiert. Das ist nicht dumm, ja :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 21.11.2012 | | Autor: | domerich |
welche als Lösung a=0 und a=1 ausgibt. Also nicht korrekt, sondern gibt nur einen hinsweis gell
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Hallo domerich,
> welche als Lösung a=0 und a=1 ausgibt. Also nicht korrekt,
> sondern gibt nur einen hinsweis gell
Dein Einwand ist hier korrekt. Ich habe dir auf deine Augangsfrage eine Antwort mit einem für Schüler möglichen Weg geschrieben.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
das ist doch als Gleichungsystem aufzufassen. Daher kann a=0 gar nicht sein. Das würde ja Gleichung (I) verletzen. Das ganze System ist ein triviales System, weil die Lösung direkt gegeben ist.
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Hallo domerich,
wenn ich jetzt alles richtig mitbekommen habe, soll das ganze mit den Mitteln der Schulmathematik angegangen werden, und da gibt es dann natürlich einen Weg, der aber noch nicht angesprochen wurde.
Dieser Weg beginnt genau mit dem, was du getan hast: eine offensichtlich naheliegende Lösung zu sehen und zu bestätigen.
Jetzt mache mal folgendes: interpretiere die linke Seite der Gleichung als Funktion und weise nach, dass diese Funktion genau zwei Extrempunkte besitzt. Deren Koordinaten auszurechnen ist nicht schwer und man wird unschwer feststellen, dass in beiden Fällen der y-Wert kleiner als e ist. Nun musst du noch links vom Hochpunkt und rechts vom Tiefpunkt das asymptotische Verhalten bzw. auf Monotonie untersuchen, und damit ist der Nachweis erbracht, dass a=1 die einzige Lösung ist.
Da jetzt doch schon relativ viel erörtert wurde und man ja mit einer solchen Aufgabe auch mal weiterkommen möchte, hier der ganze Sachverhalt noch als kleine Grafik:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß, Diophant
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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