EW der Gammafunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Di 05.06.2007 | | Autor: | doener |
| Aufgabe | | gegen sei die gammaverteilung [mm] \bruch{\beta^{a}}{\Gamma(a)}x^{a-1}e^{-\beta x}. [/mm] man zeige, dass E[X] = [mm] \bruch{a}{\beta} [/mm] |
ich habe gesehen, dass diese frage hier schon gestellt wurde, allerdings bin ich beim lösungstipp nicht weitergekommen. der tipp war folgender:
substituire y = [mm] \beta [/mm] x
mit der EW-Formel gilt:
E[X] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{x\bruch{\beta^{a}}{\Gamma(a)}x^{a-1}e^{-\beta x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{\beta^{a}}{\Gamma(a)}\integral_{0}^{\infty}{x^{a}e^{-\beta x}dx}
[/mm]
jetz kommt die substitution:
y = [mm] \beta [/mm] x [mm] \gdw \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \beta \gdw [/mm] dy = [mm] \bruch{1}{\beta}dx
[/mm]
eingesetzt:
[mm] \bruch{\beta^{a}}{\Gamma(a)}\integral_{0}^{\infty}{(\bruch{y}{\beta})^{a}e^{-y}\bruch{1}{\beta}dy} [/mm] = [mm] \bruch{\beta^{a}}{\Gamma(a)}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{y^{a}}{\beta^{a+1}}e^{-y}dy} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\beta \Gamma(a)}\integral_{0}^{\infty}{y^{a}e^{-y} dy}
[/mm]
nun weiss ich nicht weiter. kann ich den ausdruck [mm] \integral_{0}^{\infty}{y^{a}e^{-y} dy} [/mm] irgendwie durch die Gammafunktion ausdrücken, denn die lautet ja sehr ähnlich: [mm] \Gamma(a) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{y^{a-1}e^{-y}dy}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 05.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Jonas,
du bist kurz vor dem Ziel:
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{y^{a}e^{-y} dy}=\integral_{0}^{\infty}{y^{(a+1)-1}e^{-y} dy}=\Gamma(a+1)=a\Gamma(a)$...
[/mm]
lg
Luis
|
|
|
|
