EW/EV Diagonalmatrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 So 22.01.2012 | | Autor: | atseaa |
| Aufgabe | Die symmetrische Matrix A (R = 4x4) hat die Eigenwerte [mm] \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1,\lambda_{3}=2,\lambda_{4}=-2 [/mm] und die zugehörigen Eigenvektoren [mm] v_{1}(1,1,1,1)^{T},v_{2}=(-1,1,1,-1)^{T},v_{3}=(-1,0,0,1)^{T},v_{4}=(0,1,-1,0).
[/mm]
(a) Geben Sie eine orthogonale Matrix T an, die A diagonalisiert.
(b) Bestimmen Sie die Matrix A. |
Huhu,
(a) ist mir soweit klar, einfach die Eigenvektoren normieren und als Spaltenvektoren von T schreiben
(b) Ich weiß: A ist symmetrisch, damit ist [mm] A=A^{T} [/mm]
Außerdem gilt der Zusammenhang [mm] D=T^{T}AT
[/mm]
Mir ist jetzt allerdings nicht klar, wie man auf A kommt. Kann man diese Formel umformen und wenn ja, wie?
|
|
| |
|
> Die symmetrische Matrix A (R = 4x4) hat die Eigenwerte
> [mm]\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1,\lambda_{3}=2,\lambda_{4}=-2[/mm]
> und die zugehörigen Eigenvektoren
> [mm]v_{1}(1,1,1,1)^{T},v_{2}=(-1,1,1,-1)^{T},v_{3}=(-1,0,0,1)^{T},v_{4}=(0,1,-1,0).[/mm]
>
> (a) Geben Sie eine orthogonale Matrix T an, die A
> diagonalisiert.
>
> (b) Bestimmen Sie die Matrix A.
> Huhu,
>
> (a) ist mir soweit klar, einfach die Eigenvektoren
> normieren und als Spaltenvektoren von T schreiben
>
> (b) Ich weiß: A ist symmetrisch, damit ist [mm]A=A^{T}[/mm]
> Außerdem gilt der Zusammenhang [mm]D=T^{T}AT[/mm]
>
> Mir ist jetzt allerdings nicht klar, wie man auf A kommt.
> Kann man diese Formel umformen und wenn ja, wie?
>
>
Du kannst dir hier einfach behelfen, indem du die Gestalt von D doch schon kennst, D enthält einfach auf der Hauptdiagonalen die Eigenwerte, also [mm] $\lambda_1$ [/mm] bis [mm] $\lambda_4$. [/mm] Damit kennst du D und du kannst deine Gleichung nach A umschreiben und A durch 3maliges Matrizenprodukt berechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 22.01.2012 | | Autor: | atseaa |
Ah sorry, das hätte ich vielleicht dazuschreiben sollen, ich weiß natürlich, dass ich D schon kenne!
Ich hab bloß keine Ahnung, wie ich jetzt konkret auf A komme. Wie stelle ich die Gleichung um, dass ich am Schluss A = ... stehen habe?
Ich könnte ja mit der Matrix durchmultiplizieren:
D = [mm] T^{T} [/mm] * A * T
D * [mm] T^{T} [/mm] = [mm] T^{T} [/mm] * A * E
T * D * [mm] T^{T} [/mm] = E * A * E
Allerdings glaub ich nicht, dass das stimmt, erstens hab ich meine Einheitsmatrix dann zusätzlich im Weg, zweitens bringt mich das meinem Ergebnis kein Stück weiter?
|
|
|
| |
|
> Ah sorry, das hätte ich vielleicht dazuschreiben sollen,
> ich weiß natürlich, dass ich D schon kenne!
>
> Ich hab bloß keine Ahnung, wie ich jetzt konkret auf A
> komme. Wie stelle ich die Gleichung um, dass ich am Schluss
> A = ... stehen habe?
Achso, einfach Matrizen entsprechend multiplizieren, wobei du aufpassen musst, dass die Reihenfolge stimmt. Wir gehen aus von:
$ [mm] D=T^{T}AT [/mm] $
Wobei T ja deine Transformationsmatrix mit den Eigenvektoren als Spaltenvektoren ist, korrekt? [mm] T^T [/mm] lässt sich dann entsprechend bilden. Jetzt multuplizieren wir zuerst T auf beiden Seiten links dazu, so dass rechts immer die Einheitsmatrix E vor A steht. Danach multiplizieren wir auf beiden Seiten rechts [mm] T^T [/mm] dazu, so dass nochmals E rechts steht und damit A alleine:
$ [mm] D=T^{T}AT \Rightarrow [/mm] TD=EAT [mm] \Rightarrow TDT^T=EAE=A$ [/mm]
Also einfach (wie fast erwartet) die Reihenfolge von T und [mm] T^T [/mm] tauschen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 So 22.01.2012 | | Autor: | atseaa |
Heidenei, dann wars doch richtig, mir ging bloß grad ab, dass eine Matrix A multipliziert mit ihrer Einheitsmatrix wieder die Ausgangsmatrix ergibt. Egal ob links oder rechtsseitig.
Hab mir das grade noch mal an einem Beispiel klar gemacht warum das so ist, ist ja logisch und direkt ersichtlich --- wenn man sichs hinmalt.
Dank dir. ;)
|
|
|
|
