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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle EW dieser Matrix und bestimmen Sie eine Basis jedes Eigenraums
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 3 } [/mm] |
M = (A-aE)
detM = [mm] \vmat{ 1-a & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2-a & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2-a & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 3-a }
[/mm]
= detBdetD
= (1-a)(2-a)[(-2-a)(3-a)+6] = 0
[mm] a_{1}=1, a_{2}=2
[/mm]
(-2-a)(3-a)+6 = [mm] a^{2}-a [/mm] = 0
[mm] a_{3}=0
[/mm]
nun [mm] M_{1}= \pmat{ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 2 }
[/mm]
und [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 2 }*\vektor{b \\ c \\ d \\ e} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow [/mm] b=m, [mm] m\in \IR; [/mm] c=d=e=0
hier bin ich absolut unsicher, ich hoffe also dass [mm] E_{1} [/mm] (A) = [mm] m*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist, und die Basis [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
genauso absurd geht es weiter:
nun [mm] M_{2}= \pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 1 }
[/mm]
und [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 1 }*\vektor{b \\ c \\ d \\ e} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow [/mm] b=-c,d=e=0, c=m, [mm] m\in \IR
[/mm]
[mm] E_{2} [/mm] (A) = [mm] m*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist, und die Basis [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
[mm] M_{0}= \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 3 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 3 }*\vektor{b \\ c \\ d \\ e} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow [/mm] b=e,c=-2e, d=1,5e ;e=m, [mm] m\in \IR
[/mm]
[mm] E_{0} [/mm] (A) = [mm] m*\vektor{1 \\ -2 \\ 1,5 \\ 1} [/mm] ist, und die Basis [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1,5 \\ 1}.
[/mm]
ich persönlich denke der 2. teil mit den eigenräumen ist der totale mist den ich da geschrieben habe.
könnt ihr mal drübergucken und mir den teil noch einmal erklären?
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> Bestimmen Sie alle EW dieser Matrix und bestimmen Sie eine
> Basis jedes Eigenraums
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> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 3 }[/mm]
>
> M = (A-aE)
>
> detM = [mm]\vmat{ 1-a & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2-a & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2-a & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 3-a }[/mm]
>
> = detBdetD
> = (1-a)(2-a)[(-2-a)(3-a)+6] = 0
> [mm]a_{1}=1, a_{2}=2[/mm]
>
> (-2-a)(3-a)+6 = [mm]a^{2}-a[/mm] = 0
> [mm]a_{3}=0[/mm]
Hallo,
dieselben Eigenwerte habe ich auch ausgerechnet.
>
> nun [mm]M_{1}= \pmat{ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 2 }[/mm]
>
> und [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 2 }*\vektor{b \\ c \\ d \\ e}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow[/mm] b=m, [mm]m\in \IR;[/mm]
> c=d=e=0
>
> hier bin ich absolut unsicher, ich hoffe also dass [mm]E_{1}[/mm]
> (A) = [mm]m*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ist, und die Basis
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
Das ist richtig.
>
> genauso absurd geht es weiter:
> nun [mm]M_{2}= \pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 1 }[/mm]
>
> und [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 1 }*\vektor{b \\ c \\ d \\ e}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow[/mm] b=-c,d=e=0, c=m,
> [mm]m\in \IR[/mm]
>
Hier hast Du Dich lediglich mit einem Vorzeichen verhaspelt.
Ein Eigenvektor ist [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Du kannst das im übrigen selbst kontrollieren, indem Du die Ausgangsmatrix mit dem ausgerechneten Eigenvektor multiplizierst. Hast Du es richtig gemacht, erhältst du Eigenwert*Eigenvektor.
> [mm]E_{2}[/mm] (A) = [mm]m*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ist, und die
> Basis [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
>
> [mm]M_{0}= \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 3 }[/mm]
> und [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 3 }*\vektor{b \\ c \\ d \\ e}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow[/mm] b=e,c=-2e, d=1,5e
> ;e=m, [mm]m\in \IR[/mm]
>
> [mm]E_{0}[/mm] (A) = [mm]m*\vektor{1 \\ -2 \\ 1,5 \\ 1}[/mm] ist, und die
> Basis [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 1,5 \\ 1}.[/mm]
Das ist auch richtig.
>
> ich persönlich denke der 2. teil mit den eigenräumen ist
> der totale mist den ich da geschrieben habe.
Da täuscht du Dich sehr. Du hast das doch gut gemacht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Di 16.01.2007 | | Autor: | celeste16 |
ok, das überrascht mich doch. in ner anderen aufgabe war der eigenraum grundsätzlich durch mehrere vektoren aufgespannt, deswegen war ich hier so irritiert.
aber danke für's kontrollieren
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