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Hallo zusammen,
ich frage mich, ob die Eigenvektoren normaler Matrizen orthogonal sind, und wenn ja, wie mans beweisen kann?
Dass es fast so sein muss, leite ich mir wie folgt her:
Der (mir nur von der Aussage her bekannte) Spektralsatz besagt: A normal [mm] \gdw \exists [/mm] unitäres U mit A = [mm] UD\overline{U}^{T}.
[/mm]
Nun ist bekannt, dass zu einer hermiteschen Matrix alle Eigenvektoren zu verschiedenen als auch zu gleichen Eigenwerten (wenn dim Eigenraum > 1) senkrecht aufeinander stehen, diese also das unitäre U bilden, mit der man die hermitesche Matrix auf Diagonalform bringen kann. Also: [mm] \exists [/mm] unitäres U mit A = [mm] UD\overline{U}^T \Rightarrow [/mm] A normal (und: A hermitesch [mm] \Rightarrow [/mm] A normal)
Wie aber beweist man es allgemeinm für alle Matrizen? Die hermiteschen stellen ja nur einen Vertreter der normalen dar...
Grüße,
Willkommen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 02.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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