E-Feld eines Linienleiters < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Sa 01.12.2012 | | Autor: | jackyooo |
| Aufgabe | Ein kreisrunder Linienleiter liegt in der xy-Ebene im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Dieser trägt die homogene Linienladung [mm] \lambda
[/mm]
Berechnen Sie das durch die Linienladung erzeugte elektrische Feld [mm] \vec{E} [/mm] auf der z-Achse in einem beliebigen Punkt [mm] (0,0,z_{p}. [/mm] |
Hey,
ich hab ne Frage zur obrigen Fragestellung.
Mensch müsste ja den Leiter beliebig um die z-Achse drehen können, also auch so, dass er genau mit der x-Achse übereinstimmt. Somt würden ja direkt sämtliche y-Komponenten wegfallen.
Weiter gilt ja:
[mm] \vec{E} [/mm] = [mm] \frac{Q}{4\pi\epsilon r^2} \vec{e}
[/mm]
= [mm] \int{\frac{\lambda ds}{4\pi \epsilon r^2}}
[/mm]
= [mm] \frac{\lambda}{4\pi \epsilon} \int{\frac{ds}{r^2} \vec{e}}
[/mm]
Nur wie löse ich jetzt dieses Integral?
Ich kann ja noch ein bisschen weitergehen und sagen [mm] r=\sqrt{x^2+{z_p}^2}
[/mm]
und somit die obrige Gleichung umformen zu
[mm] \frac{\lambda}{4\pi \epsilon} \int{\frac{ds}{x^2+{z_p}^2} \vec{e}}
[/mm]
Aber hier hab ich doch 2 Variablen? Einmal x, als Abstand zur x-Achse in den Grenzen -l bis l (Leiterlänge), nur wie gehe ich mit dem ds um?
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das ds ist der weg nach dem du integrierst, das heisst die länge deines leiters (immer natürlich in die richtung in die er schaut)... du musst diesen weg parametriesieren (wegintegrale/linienintegrale). klnigelt da was?
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Sa 01.12.2012 | | Autor: | jackyooo |
Nein, da klingelt leider nichts. Kannst du deine Antwort ein bisschen ausführen, bzw. bezug auf meine Rechnung nehmen? Passt mein Ansatz denn?
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Hallo!
Die Aufgabe lässt sich mit Hilfe des Coulomb-Integrals
(1) [mm] \Phi(\vec{r}_{p})=\bruch{1}{4\pi\varepsilon}\integral_{C}^{}{\bruch{\lambda(\vec{r}_{q})}{|\vec{r}_{p}-\vec{r}_{q}|}ds(\vec{r}_{q})}
[/mm]
lösen. Zur Auswertung des Integrals an einem beliebigen Aufpunkt
(2) [mm] \vec{r}_{p}=x_{p}\vec{e}_{x}+y_{p}\vec{e}_{y}+z_{p}\vec{e}_{z}=\varrho_{p}\vec{e}_{\varrho}+z_{p}\vec{e}_{z}
[/mm]
findet sich dabei mit
(3) [mm] \vec{r}_{q}=z_{q}\vec{e}_{z} [/mm] und [mm] z_{q}\in[-l,l]
[/mm]
eine geeignete Parameterdarstellung der Quellenverteilung. Die Länge des differentiellen Wegelements ergibt sich zu
(4) [mm] \vmat{\bruch{d\vec{r}_{q}}{d{z_{q}}}}d{z_{q}}=|\vec{e}_{z}|d{z_{q}}=d{z_{q}}.
[/mm]
Den Abstand zwischen Quell- und Aufpunkt erhält man hingegen gemäß
(5) [mm] r=|\vec{r}_{p}-\vec{r}_{q}|=|\varrho_{p}\vec{e}_{\varrho}+(z_{p}-z_{q})\vec{e}_{z}|=\wurzel{\varrho^{2}_{p}+(z_{p}-z_{q})^{2}}.
[/mm]
Du brauchst jetzt nur noch die einzelnen Bestandteile in Gleichung (1) einzusetzen und den resultierenden Ausdruck zu integrieren (Hinweis: Substitution!). Zur Berechnung der elektrischen Feldstärke beachte zudem das Induktionsgesetz der Elektrostatik
(6) [mm] rot{\vec{E}}=\vec{0}\Rightarrow{\vec{E}}=-grad{\Phi}
[/mm]
aus welchem im Zuge von [mm] \bruch{d}{dt}=0 [/mm] unmittelbar die Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes folgt. Die elektrische Feldstärke lässt sich also final über den Gradienten des Potentials bestimmen.
Viele Grüße und frohes Schaffen, Marcel
PS: Ich habe eben noch GVS´s Aktualisierung gelesen. Für den Fall, dass es sich um einen Kreisring handelt, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystem liegt, ist der oben aufgeführte Beitrag natürlich nicht zutreffend. Dieser unterstellt vielmehr, dass sich der Leiter selbst auf der z-Achse befindet.
PPS: Da das E-Feld auf der z-Achse berechnet werden soll, ist es sowieso Unsinn, den Leiter auf die Achse zu legen. Sofern es sich um einen Kreisring mit Mittelpunkt im Ursprung handelt: Lege den Quellpunkt auf einen beliebigen Punkt des Kreisrings und den Aufpunkt auf einen beliebigen Punkt der z-Achse. Der obige Beitrag kann dir bei der Lösung der Aufgabe vom Prinzip her dann trotzdem weiterhelfen. Ein Kreisring lässt sich gemäß
(7) [mm] \vec{r}_{q}=\varrho_{0}cos(\varphi)\vec{e}_{x}+\varrho_{0}sin(\varphi)\vec{e}_{y}, [/mm] mit [mm] \varrho=\varrho_{0}=const. [/mm] und [mm] \varphi\in[0,2\pi)
[/mm]
parametrisieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Sa 01.12.2012 | | Autor: | GvC |
Welche Länge hat denn der Leiter? Falls das eine theoretische Aufgabe ist, bei der von einem unendlich ausgedehnten Leiter auszugehen ist, dann solltest Du Dir die Symmetrieeigenschaften der Anordnung zunutze machen und einfach den Gaußschen Flusssatz für die zylindersymmetrische Anordnung anwenden.
EDIT: Ich sehe gerade den Begriff des "kreisrunden" Linienleiters. Was heißt das? Ist das ein gerader Leiter mit kreisrundem Querschnitt oder ein zu einem Kreisring gebogener Leiter? Gibt es eine Skizze? Falls ess ich um einen Kreisring handelt, wo liegt der Mittelpunkt? Im Ursprung? Das wäre einfach, widerspräche aber der Aufgabenstellung, wonach der Leiter durch den Ursprung geht, der Mittelpunkt also um den Radius des Kreisringes aus dem Ursprung verschoben ist. Gibt es denn keine eindeutige Aufgabenstellung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 So 02.12.2012 | | Autor: | jackyooo |
Nee, gibt es nicht. Es rechnet hier auch jeder was anderes -.-
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 So 02.12.2012 | | Autor: | GvC |
In einem anderen Forum wurde gerade dieselbe Aufgabe diskutiert. Dort hatte man sich darauf geeinigt, dass es sich wohl um einen geschhlossenen Kreisring handelt, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Das ist auch die einzig sinnvolle Interpretation. Die Lösung ist dann
[mm]\vec{E}=\frac{\lambda\cdot z_p\cdot r}{2\cdot\epsilon\cdot(z_p^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}\cdot\vec{e}_z[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 So 02.12.2012 | | Autor: | jackyooo |
Das hab ich mit der Interpretation auch raus. Hab eben auch den Prof gefragt, diese Interpretation ist richtig.
Ich wunder mich nur, dass der Radius nicht gegeben wurde. Kann es nicht sein, dass das unabhängig vom Radius ist, weil beim größer werden des Kreises, zwar dessen Ladung quadratisch zunimmt, sein Abstand jedoch antiproportional dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 So 02.12.2012 | | Autor: | GvC |
> Das hab ich mit der Interpretation auch raus. Hab eben auch
> den Prof gefragt, diese Interpretation ist richtig.
>
> Ich wunder mich nur, dass der Radius nicht gegeben wurde.
> Kann es nicht sein, dass das unabhängig vom Radius ist,
> weil beim größer werden des Kreises, zwar dessen Ladung
> quadratisch zunimmt, sein Abstand jedoch antiproportional
> dazu?
Die Ladung des Leiters ist [mm]Q=\lambda\cdot l[/mm], wobei [mm]l=2\pi r[/mm]. Die Ladung nimmt also linear mit r zu.
Der Abstand zu einer bestimmten Stelle [mm] z_p [/mm] auf der z-Achse wächst ebenfalls mit r und ist [mm]\sqrt{z_p^2+r^2}[/mm]. Es ist in der Tat merkwürdig, dass der Radius des Kreisringes oder sein Umfang nicht gegeben ist. Allerdings sollte das nicht weiter stören. Vielleicht war es ja gerade beabsichtigt herauszufinden, dass die Feldstärke radienabhängig ist, was sich leicht an dem im Ergebnis auftauchenden Quotienten [mm]\frac{r}{(z_p^2+r^2)^{\frac{3}{2}}[/mm] ablesen lässt. Da kürzt sich nichts raus.
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