Durchschnitt Mengen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 So 13.11.2011 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Zu zeigen: Der Durchschnitt zweier zyklischer teilmengen von G ist zyklisch.
Dabei sei G eine endliche Gruppe. |
hallo
ich komm hier nicht weiter.
Ich hab den tipp mit maximas zu argumentieren aber ich seh nicht wie.
ich würde erst mal sagen da G endlich ist soll G die Elemente [mm] g_{1},...,g_{s} [/mm] enthalten.
Dann habe ich folgende zyklischen Teilmengen [mm] M_{i}= [/mm] i=1,...,s
aber wie komm ich auf [mm] M_{i}\cap M_{j}=M_{k} [/mm] wobei [mm] i,j,k\in \{1,...,s\}
[/mm]
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Hallo Ayame,
> Zu zeigen: Der Durchschnitt zweier zyklischer teilmengen
> von G ist zyklisch.
Seien A=<a> und B=<b> zyklische Untergruppen von G.
Weise nach:
(i) [mm] $A\cap [/mm] B$ ist Untergruppe von A (das ist einfach).
(ii) Untergruppen von zyklischen Gruppen sind zyklisch. Für die Aufgabe reicht es sogar z.z., dass Untergruppen von endlichen zyklischen Gruppen wieder zyklisch sind.
Eine endliche zyklische Gruppe ist isomorph zu [mm] \IZ/m\IZ. [/mm] Sei H Untergruppe von [mm] \IZ/m\IZ. [/mm] Es sei x Erzeuger von [mm] \IZ/m\IZ. [/mm] Dann gibt es eine kleinste natürliche Zahl d, sodass [mm] x^d\in [/mm] H.
Wir zeigen [mm] H=.
[/mm]
Sei dazu [mm] 0\neq y\in [/mm] H. Dann ist [mm] y=x^n [/mm] für ein [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] ggT(n,d)=\delta [/mm] für [mm] 0<\delta\leq [/mm] d. Zeige, dass [mm] d=\delta [/mm] gelten muss (Tipp: Wie kann man den ggT noch darstellen? Verwende dann noch die Minimalität von d). Daraus folgt dann d|n und somit die Behauptung.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 So 13.11.2011 | | Autor: | Ayame |
Ist denn jede endliche gruppe zyklisch ?
Meine gegebene Gruppe G soll endlich sein aber ob sie zyklisch ist weiß ich gar nicht.
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> Ist denn jede endliche gruppe zyklisch ?
Nein.
> Meine gegebene Gruppe G soll endlich sein aber ob sie
> zyklisch ist weiß ich gar nicht.
Die Aussage (ii) soll auch nur verwendet werden, um zu zeigen, dass [mm] A\cap [/mm] B als Untergruppe der zyklischen Gruppe A zyklisch ist.
LG
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