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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Für das Intervall [mm] ]\frac{-1}{x},1+\frac{1}{x}[ [/mm] mit [mm] x\ge [/mm] 1 gilt
[mm] $\bigcap_{x=1}^{\infty}]\frac{-1}{x},1+\frac{1}{x}[=[0;1]$
[/mm]
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Hoi.
Kann mir jemand sagen, warum das so ist? Ich habs mit dem limes für x -> 1+ und x -> unendlich probiert. Aber das ist ja vollkommener Unsinn.
Kann mir jemand helfen?
Gruß,
Wehm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Wehm |
1:1 handelt es sich hier um
Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist wieder offen. Dies gilt allerdings nicht für unendliche Durchschnitte. Z. B. sind die Intervalle [mm] ]-\frac{1}{x}; [/mm] 1+ [mm] \frac{1}{x}[, x\ge [/mm] 1 offen in [mm] \IR, [/mm] aber ihr Durchschnitt
[mm] \bigcap_{x=1}^{\infty}]\frac{-1}{x};1+\frac{1}{x}[ [/mm] = [0,1]
ist nicht offen.
Das kann ich aber nicht nachvollziehen, wie man auf [0,1] kommt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 27.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Wehm,
> Für das Intervall [mm]]\frac{-1}{x},1+\frac{1}{x}[[/mm] mit [mm]x\ge[/mm] 1
> gilt
> [mm]\bigcap_{x=1}^{\infty}]\frac{-1}{x},1+\frac{1}{x}[=[0;1][/mm]
>
> Hoi.
>
> Kann mir jemand sagen, warum das so ist? Ich habs mit dem
> limes für x -> 1+ und x -> unendlich probiert. Aber das ist
> ja vollkommener Unsinn.
> Kann mir jemand helfen?
Ein Element liegt genau dann im Durchschnitt mehrerer Mengen, wenn es in allen Mengen liegt.
So sieht man sofort, dass [mm] $0\in\bigcap_{x=1}^{\infty}\left]\frac{-1}{x},1+\frac{1}{x}\right[$ [/mm] und ebenso [mm] $1\in \bigcap_{x=1}^{\infty}\left]\frac{-1}{x},1+\frac{1}{x}\right[$.
[/mm]
Alle Zahlen zwischen 0 und 1 liegen ebenfalls in allen Mengen, also [mm] $[0,1]\subseteq\bigcap_{x=1}^{\infty}\left]\frac{-1}{x},1+\frac{1}{x}\right[$
[/mm]
Alle Zahlen kleiner als 0 liegen nicht im Durchschnitt. Das sieht man so:
Sei $y<0$.
[mm] $\Rightarrow\ \exists\varepsilon>0\ [/mm] :\ [mm] y=-\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \exists\N\in\IN\ [/mm] :\ [mm] \bruch{1}{N}<\varepsilon$ [/mm] (Archimedisches Axiom)
[mm] $\Rightarrow\ y=-\varepsilon<-\bruch{1}{N}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ y\not\in\left]\frac{-1}{x},1+\frac{1}{x}\right[$ [/mm] für $x=N$
[mm] $\Rightarrow\ y\not\bigcap_{x=1}^{\infty}\left]\frac{-1}{x},1+\frac{1}{x}\right[$ $\Box$
[/mm]
Analog kann man für [mm] $y=1+\varepsilon$ [/mm] argumentieren.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Do 31.05.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo Marc,
die Frage hatte sich noch nicht erledigt, es freut mich daher sehr dass du noch darauf geantwortet hast. Echt klasse. Danke.
Gruß, Wehm
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