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| Aufgabe | Es seien V und W endlichdim. K-Vektorräume. B sei eine Basis von U. Weiter seien die Isomorphismen
[mm] $i:U\to U^{\*\*}:v\mapsto\Big[\phi\mapsto \phi(v)\Big]$
[/mm]
[mm] $j:W\to W^{\*\*}:w\mapsto\Big[\psi\mapsto \psi(w)\Big]$
[/mm]
gegeben. Zeige:
1) $i = [mm] \Psi_{B^{\*}}\circ \Psi_{B}$
[/mm]
2) Für [mm] $f^{\*\*} [/mm] := [mm] (f^{\*})^{\*}$ [/mm] gilt: [mm] $f^{\*\*}\circ [/mm] i = [mm] j\circ [/mm] f$.
Dabei ist [mm] $\Psi_{B}$ [/mm] der basisabh. Isom. zwischen [mm] B=(v_{1},...,v_{n}) [/mm] und [mm] B^{\*} [/mm] mit [mm] $\Psi_{B}:V\to V^{\*}:v_{i}\mapsto v_{i}^{\*}, v_{i}^{\*}(v_{j}) [/mm] = [mm] \delta_{i_{j}}$, [/mm] und [mm] $f^{\*}$ [/mm] bezeichnet die zu [mm] $f:V\to [/mm] W$ duale Abbildung [mm] $f^{\*}:W^{\*}\to V^{\*}:\psi\mapsto \psi \circ [/mm] f$.
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Hallo!
1) meine ich, bewiesen haben zu können.
Bei 2) funktioniert allerdings gar nichts, bzw. ich muss haufenweise Variablen einführen, um das zu zeigen... das muss doch auch besser gehen.
Hier mal ein Versuch meinerseits:
[mm] $f^{\*\*}\circ [/mm] i = [mm] j\circ [/mm] f$
Auf beiden Seiten stehen also Abbildungen der Form $V [mm] \to W^{\*\*}$. [/mm] Sei zunächst [mm] $v\in [/mm] V$ beliebig, d.h. $v = [mm] \lambda_{1}*v_{1}+...+\lambda_{n}*v_{n}$. [/mm] Dann haben wir auf der linken Seite:
[mm] $f^{\*\*}\circ [/mm] i(v)$
$ = [mm] f^{\*\*}\circ i(\lambda_{1}*v_{1}+...+\lambda_{n}*v_{n})$
[/mm]
$ = [mm] f^{\*\*}(\lambda_{1}*v_{1}^{\*\*}+...+\lambda_{n}*v_{n}^{\*\*})$
[/mm]
$ = [mm] (\lambda_{1}*v_{1}^{\*\*}+...+\lambda_{n}*v_{n}^{\*\*})\circ f^{\*}$
[/mm]
Nun ist dies ja eine Abbildung aus [mm] $W^{\*\*}$, [/mm] d.h. sie ordnet Elementen aus [mm] $W^{\*}$ [/mm] etwas zu. Ich nehme jetzt einfach mal irgendeine Basis [mm] $A:=(w_{1},...,w_{n})$ [/mm] von W her. Sei nun [mm] $\phi\in W^{\*}$. [/mm] d.h. [mm] $\phi [/mm] = [mm] \mu_{1}*w_{1}^{\*} [/mm] + ... + [mm] \mu_{n}*w_{n}^{\*}$. [/mm] Nun wende ich die Abb. darauf an:
[mm] $(\lambda_{1}*v_{1}^{\*\*}+...+\lambda_{n}*v_{n}^{\*\*})\circ f^{\*}(\phi)$
[/mm]
$= [mm] (\lambda_{1}*v_{1}^{\*\*}+...+\lambda_{n}*v_{n}^{\*\*})( \phi\circ [/mm] f)$
Das geht irgendwie immer so weiter...
Wie muss ich an diese Aufgabe rangehen? Wir haben keine großen Sätze dazu bewiesen, ausser, dass [mm] $Kern(f^{\*}) [/mm] = Annulator(Bild(f))$ und [mm] $Bild(f^{\*}) [/mm] = Annulator(Kern(f))$.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Mo 03.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> und [mm]f^{\*}[/mm] bezeichnet die zu [mm]f:V\to W[/mm] duale Abbildung
> [mm]f^{\*}:W^{\*}\to V^{\*}:\psi\mapsto \psi \circ f[/mm].
...
> [mm]f^{\*\*}\circ i = j\circ f[/mm]
Die Aufgabe ist nicht so schwer, bloß manchmal verwirrend. Die r.S. kann man aj schnell hinschreiben, wie sie genau aussieht, also schaut man sich die l.S. nochmal an.
Dazu möchte man einfach mal [m]f^{\*\*}[/m] verstehen, also [m]f^{\*\*}:W^{\*\*}\to V^{\*\*}[/m]. Gut das macht [m]\phi \mapsto \phi\circ f^\*[/m] nach Definition. Also [m](f^{\*\*}(\phi))(\tau)) = \phi(f^\*(\tau)) = \phi(\tau(f))[/m]. Das ist verwirrend und man muss es sich anschauen - aber im Prinzip einfach.
SEcki
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