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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Fr 21.06.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Korollar:
Zu jeder Basis [mm] B=(v_{1},...,v_{n}) [/mm] von V gibt es einen Isomorphismus [mm] \psi_{B}: [/mm] V [mm] \to V^{\*} [/mm] mit [mm] \psi_{B}(v_{i})=v_{i}^{\*}.
[/mm]
Beispiel:
Im [mm] K^{2} [/mm] betrachten wir neben der kanonischen Basis die Basis [mm] b=(v_{1},v_{2}) [/mm] mit [mm] v_{1}=e_{1} [/mm] und [mm] v_{2}=(1,1)^{T}. [/mm] Aus [mm] e_{1}=v_{1} [/mm] und [mm] e_{2}=v_{2}-v_{1} [/mm] folgt
[mm] v_{1}^{\*}(e_{1})=1, v_{1}^{\*}(e_{2})=-1, v_{2}^{\*}(e_{1})=0, v_{2}^{\*}(e_{2})=1,
[/mm]
[mm] v_{1}^{\*}=e_{1}^{\*}-e_{2}^{\*}, v_{2}^{\*}=e_{2}^{\*}, [/mm] also
[mm] \psi_{B}(e_{1})=e_{1}^{\*}-e_{2}^{\*}, \psi_{B}(e_{2})=-e_{1}^{\*}+2e_{2}^{\*}. [/mm] |
Hallo,
habe dieses Beispiel in einem Buch gefunden und habe es fast ganz nachvollzogen. Nur verstehe ich nicht, wieso jetzt gilt: [mm] \psi_{B}(e_{2})=-e_{1}^{\*}+2e_{2}^{\*}.
[/mm]
Würde mich freuen, wenn jemand dieses Rätsel auflösen könnte 
Gruß,
DrRiese
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Hallo,
ich glaube das schaffst du auch noch.Du musst nur einsetzen und die allgemeine Homomorphismus-Eigenschaft f(v-w)=f(v)-f(w) verwenden.
Wenn´s wirklich nicht geht, melde dich nochmal
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Di 25.06.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hm, tut mir leid aber so richtig habe ich das noch nicht hingekriegt... :-(
Außerdem hat sich noch eine weitere Frage aufgedrängt: Heute hat jemand behauptet, der Vektorraum V sei gleich dem Bidualraum [mm] V^{\*\*}. [/mm] Stimmt das? Ich dachte, sie wären isomorph?
Gruß,
DrRiese
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Hallo,
> Hm, tut mir leid aber so richtig habe ich das noch nicht
> hingekriegt... :-(
Du weißt: [mm] $e_2 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] - [mm] v_1$.
[/mm]
Daher:
[mm] $\psi_B(e_2) [/mm] = [mm] \psi_B(v_2) [/mm] - [mm] \psi_B(v_1)$.
[/mm]
Nun Definition von [mm] $\psi_B$ [/mm] anwenden:
= [mm] v_2^{\*} [/mm] - [mm] v_1^{\*}
[/mm]
Vorher im Beispiel wurde ausgerechnet, dass [mm] $v_1^{\*} [/mm] = [mm] e_1^{\*} [/mm] - [mm] e_2^{\*}, v_2^{\*} [/mm] = [mm] e_2^{\*}$. [/mm] Das benutzt du jetzt:
= [mm] e_2^{\*} [/mm] - [mm] (e_1^{\*} [/mm] - [mm] e_2^{\*})
[/mm]
= 2 [mm] e_2^{\*} [/mm] - [mm] e_1^{\*}.
[/mm]
> Außerdem hat sich noch eine weitere Frage aufgedrängt:
> Heute hat jemand behauptet, der Vektorraum V sei gleich dem
> Bidualraum [mm]V^{\*\*}.[/mm] Stimmt das? Ich dachte, sie wären
> isomorph?
Ja, sie sind nur isomorph.
Im Vektorraum [mm] $\IR^n$ [/mm] gibt es die Interpretation, Elemente von [mm] $(\IR^{n})^{\*}$ [/mm] einfach als Zeilenvektoren auszufassen (und somit Elemente von [mm] $(\IR^{n})^{\*\*}$ [/mm] wieder als Spaltenvektoren). Das ist aber nur eine Interpretation! Formal gesehen sind Elemente von [mm] $V^{\*\*}$ [/mm] Abbildungen von [mm] $V^{\*}$ [/mm] in den zugrundeliegenden Körper und somit etwas ganz anderes als Elemente in V.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Sa 29.06.2013 | | Autor: | DrRiese |
Achso, dankeschön
Gruß,
DrRiese
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