Dualraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 So 30.04.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Auf $V = [mm] \IR^3$ [/mm] lege man die Basis
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 3}$, $a_2= \vektor{1\\2\\-3}$, $a_3=\vektor{1\\-2\\3}$ [/mm] zugrunde.
a) Man bestimme [mm] $a_3^\ast( \vektor{1\\1\\1})$
[/mm]
b) Man schreibe die Linearform [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \to x_1 [/mm] - [mm] x_3$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $a_1^\ast$, $a_2^\ast$, $a_3^\ast$. [/mm] |
HI! versuch grad zu verstehen, was es mit dualräumen etc. so auf sich hat... bei dieser aufgabe komm ich leider nicht wirklich weit.
hab gedacht ich schreibe den Vektor [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] mal als Linearkombination von der Basis:
$-x + y + z = 1$
$2x + 2y - 2z =1$
$3x - 3y + 3z = 1 $
bekomm dann raus:
$x= 5/12, y = 3/4, z=2/3$
aber ich versteh noch nicht, wie ich damit dann auf [mm] $a_3^\ast$ [/mm] komme?? das ist doch ein vektor aus der dualen basis, oder??
und bei der b) hab ich noch keinen wirklichen plan, wie ich rangehen könnte. hab irgendwie noch probleme mir das alles vorzustellen...
die Linearform ist doch eine Abbildung von $V [mm] \to [/mm] K$. und im Dualraum befindet sich die Menge aller Linearformen, oder? Sind die Vektoren aus [mm] $V^\ast$ [/mm] dann einfach lineare Abbildungen?
maaany THX4 help, schon mal im Voraus! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> Auf [mm]V = \IR^3[/mm] lege man die Basis
> [mm]a_1 = \vektor{-1 \\ 2 \\ 3}[/mm], [mm]a_2= \vektor{1\\2\\-3}[/mm],
> [mm]a_3=\vektor{1\\-2\\3}[/mm] zugrunde.
> a) Man bestimme [mm]a_3^\ast( \vektor{1\\1\\1})[/mm]
> b) Man
> schreibe die Linearform [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \to x_1 - x_3[/mm]
> als Linearkombination von [mm]a_1^\ast[/mm], [mm]a_2^\ast[/mm], [mm]a_3^\ast[/mm].
> HI! versuch grad zu verstehen, was es mit dualräumen etc.
> so auf sich hat... bei dieser aufgabe komm ich leider
> nicht wirklich weit.
> hab gedacht ich schreibe den Vektor [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] mal
> als Linearkombination von der Basis:
> [mm]-x + y + z = 1[/mm]
> [mm]2x + 2y - 2z =1[/mm]
> [mm]3x - 3y + 3z = 1[/mm]
> bekomm
> dann raus:
> [mm]x= 5/12, y = 3/4, z=2/3[/mm]
> aber ich versteh noch nicht, wie
> ich damit dann auf [mm]a_3^\ast[/mm] komme?? das ist doch ein vektor
> aus der dualen basis, oder??
>
> und bei der b) hab ich noch keinen wirklichen plan, wie ich
> rangehen könnte. hab irgendwie noch probleme mir das alles
> vorzustellen...
Schau dir mal in der Vorlesung an, wie man aus einem Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ die zugehoerige Linearform [mm] $v^\ast [/mm] : V [mm] \to [/mm] K$ bekommt. Schreib das mal am besten hier hin da ich nicht weiss wie ihr das nun grade definiert habt.
> die Linearform ist doch eine Abbildung von [mm]V \to K[/mm]. und
Genau. Und zwar eine lineare Abbildung.
> im Dualraum befindet sich die Menge aller Linearformen,
> oder?
Der Dualraum ist die Menge aller Linearformen $V [mm] \to [/mm] K$.
> Sind die Vektoren aus [mm]V^\ast[/mm] dann einfach lineare
> Abbildungen?
Genau.
Wenn $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum ist, dann gibt es einen Isomorphismus $V [mm] \to V^\ast$. [/mm] Ueber diesem laesst sich jedem Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ eine Linearform [mm] $v^\ast [/mm] : V [mm] \to [/mm] K$ zuordnen. Wie dies geht brauchst du, um a) und b) zu loesen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi felix! ganz vielen dank für deine erklärung!
also wir haben das so aufgeschrieben:
"Es sei V ein K-Vr und B eine Basis von V.Zu jedem b aus B gibt es ein b* aus V* mit
b*(b') = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls } \mbox{ b' = b} \\ 0, & \mbox{falls } \mbox{ b' ungleich b} \end{cases}
[/mm]
Hinweis: b* hängt bei obiger Konstruktion nicht nur von b ab, sondern von der gesamten Basis B."
ahh, dann habe ich noch folgendes im skript gefunden:
" Ist allg. [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] eine Basis von [mm] K^n, [/mm] dann wird die zugehörige duale Basis gegeben durch die Zeilen von [mm] B^{-1}, [/mm] wo B die nxn-Matrix bezeichnet, deren Spalten gerade die [mm] b_i [/mm] sind."
D.h. bei Aufgabenteil a) schreib ich die Basisvektoren als Matrix, invertier sie und meine Zeilen sind dann die B* - vektoren?
da hab ich für [mm] a_3 [/mm] * = (1/2,0,1/6) raus. Schreibt man die immer als Zeile?
und wie kann ich dann [mm] a_3 [/mm] * ( [mm] \vektor{1\\ 1\\1} [/mm] ) berechnen?
oha, hilfe, also ich hab einmal den isomorphismus von V [mm] \to V^\ast...was [/mm] bedeutet dasgenau, dass ich ´über' diesem jedem vektor aus V eine Linearform zuordnen kann? ... kann mir das noch nicht ganz vorstellen, wie die Abbildungen V->V* und V->K zusammenhängen??
bedeutet das, dass ein "normaler" vektor aus V auf eine Linearform in V* abgebildet wird??
bei der b) bin ich leider noch nicht weiter gekommen...
sorry für die vielen fragen ... und ganz vielen dank für deine hilfe! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> hi felix! ganz vielen dank für deine erklärung!
> also wir haben das so aufgeschrieben:
> "Es sei V ein K-Vr und B eine Basis von V.Zu jedem b aus B
> gibt es ein b* aus V* mit
> b*(b') = [mm]\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \mbox{ b' = b} \\ 0, & \mbox{falls } \mbox{ b' ungleich b} \end{cases}[/mm]
>
> Hinweis: b* hängt bei obiger Konstruktion nicht nur von b
> ab, sondern von der gesamten Basis B."
Diese Zuordnung $b [mm] \mapsto b^\ast$ [/mm] erweitert sich zu einem Vektorraumisomorphismus $V [mm] \to [/mm] V^*$, [mm] $\sum \lambda_i b_i \mapsto \sum \lambda_i b_i^\ast$.
[/mm]
> ahh, dann habe ich noch folgendes im skript gefunden:
> " Ist allg. [mm](b_1,...,b_n)[/mm] eine Basis von [mm]K^n,[/mm] dann wird
> die zugehörige duale Basis gegeben durch die Zeilen von
> [mm]B^{-1},[/mm] wo B die nxn-Matrix bezeichnet, deren Spalten
> gerade die [mm]b_i[/mm] sind."
>
> D.h. bei Aufgabenteil a) schreib ich die Basisvektoren als
> Matrix, invertier sie und meine Zeilen sind dann die B* -
> vektoren?
Das ist zu kompliziert.
> da hab ich für [mm]a_3[/mm] * = (1/2,0,1/6) raus. Schreibt man die
> immer als Zeile?
> und wie kann ich dann [mm]a_3[/mm] * ( [mm]\vektor{1\\ 1\\1}[/mm] )
> berechnen?
Nun, du hast ja schon [mm] $\vektor{1\\ 1\\1} [/mm] = 5/12 [mm] a_1 [/mm] + 3/4 [mm] a_2 [/mm] + 2/3 [mm] a_3$ [/mm] berechnet. Wenn du das jetzt in [mm] $a_3^\ast$ [/mm] einsetzt, die Linearitaet von [mm] $a_3^\ast$ [/mm] benutzt, und benutzt, dass [mm] $a_3^\ast(a_3) [/mm] = 1$ und [mm] $a_3^\ast(a_i) [/mm] = 0$ fuer $i < 3$ ist, dann bekommst du das Ergebnis 
> oha, hilfe, also ich hab einmal den isomorphismus von V [mm]\to V^\ast...was[/mm]
Genau. Siehe oben.
> bedeutet dasgenau, dass ich ´über' diesem jedem vektor aus
> V eine Linearform zuordnen kann?
Nun, der Isomorphismus ist ja insbesondere eine bijektive Abbildung zwischen dem Vektorraum $V$ und der Menge der Linearformen [mm] $V^\ast$. [/mm] Also liefert er zu jedem Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ eine Linearform [mm] $v^\ast \in V^\ast$.
[/mm]
> ... kann mir das noch
> nicht ganz vorstellen, wie die Abbildungen V->V* und V->K
> zusammenhängen??
Also $V [mm] \to V^\ast$ [/mm] ist eine feste Abbildung, die zu jedem $v [mm] \in [/mm] V$ eine Abbildung [mm] $v^\ast [/mm] : V [mm] \to [/mm] K$ liefert.
> bedeutet das, dass ein "normaler" vektor aus V auf eine
> Linearform in V* abgebildet wird??
Genau.
> bei der b) bin ich leider noch nicht weiter gekommen...
Sei $f$ die Linearform aus b). Dann gibt es [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_3 \in [/mm] K$ mit $f = [mm] \lambda_1 a_1^\ast [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \lambda_3 a_3^\ast$ [/mm] (die Linearformen [mm] $a_1^\ast, \dots, a_3^\ast$ [/mm] bilden ja eine Basis von [mm] $V^\ast$). [/mm] Jetzt setz doch mal [mm] $a_1, \dots, a_3$ [/mm] dort ein! Auf der rechten Seite faellt dann jeweils ganz viel weg, und die linke Seite kannst du mit der Funktionsdefinition aus b) ausrechnen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Felix!!
Gaaanz vielen DANK für deine erklärungen! deinen durchblick hätte ich gerne...!!
also ich glaub teil a) hab ich verstanden:
[mm] a_3 [/mm] * ( [mm] \vektor{1\\ 1\\1} [/mm] ) = [mm] a_3 [/mm] * (5/12 [mm] a_1 [/mm] + 3/4 [mm] a_2 [/mm] + 2/3 [mm] a_3) [/mm] = 5/12 [mm] a_3 [/mm] * [mm] (a_1) [/mm] + 3/4 [mm] a_3 [/mm] * [mm] (a_2) [/mm] + 2/3 [mm] a_3 [/mm] * [mm] (a_3) [/mm] = 0 + 0 + 2/3*1 = 2/3.
bei teil b) weiß nicht, ob ich das mit dem Einsetzen richtig gemacht habe:
f = [mm] \lambda_1 a_1 [/mm] * + [mm] \lambda_2 a_2 [/mm] * + [mm] \lambda_3 a_3 [/mm] *
[mm] f(a_1) [/mm] = [mm] \lambda_1 a_1 *(a_1) [/mm] + [mm] \lambda_2 a_2 *(a_1) [/mm] + [mm] \lambda_3 a_3 [/mm] * [mm] (a_1) [/mm]
f( [mm] \vektor{-1\\2\\3} [/mm] ) = [mm] \lambda_1 [/mm] *1 + 0 + 0
[mm] \lambda_1 [/mm] = -1-3 = - 4.
stimmt das so? dann müsst ich das genauso für [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] machen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> also ich glaub teil a) hab ich verstanden:
> [mm]a_3[/mm] * ( [mm]\vektor{1\\ 1\\1}[/mm] ) = [mm]a_3[/mm] * (5/12 [mm]a_1[/mm] + 3/4 [mm]a_2[/mm] +
> 2/3 [mm]a_3)[/mm] = 5/12 [mm]a_3[/mm] * [mm](a_1)[/mm] + 3/4 [mm]a_3[/mm] * [mm](a_2)[/mm] + 2/3 [mm]a_3[/mm] *
> [mm](a_3)[/mm] = 0 + 0 + 2/3*1 = 2/3.
Genau!
> bei teil b) weiß nicht, ob ich das mit dem Einsetzen
> richtig gemacht habe:
> f = [mm]\lambda_1 a_1[/mm] * + [mm]\lambda_2 a_2[/mm] * + [mm]\lambda_3 a_3[/mm]
> *
>
> [mm]f(a_1)[/mm] = [mm]\lambda_1 a_1 *(a_1)[/mm] + [mm]\lambda_2 a_2 *(a_1)[/mm] +
> [mm]\lambda_3 a_3[/mm] * [mm](a_1)[/mm]
> f( [mm]\vektor{-1\\2\\3}[/mm] ) = [mm]\lambda_1[/mm] *1 + 0 + 0
> [mm]\lambda_1[/mm] = -1-3 = - 4.
> stimmt das so?
Ja!
> dann müsst ich das genauso für [mm]a_2[/mm] und [mm]a_3[/mm]
> machen ?
Genau!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Riley |
wow, cool, ich hab die aufgabe gelöst, dank deiner hilfe *nenluftsprungmach*
aber jetzt muss ich dich doch nochmal was fragen zu teil a):
hab über den komplizierteren weg mit matrix invertieren doch herausbekommen [mm] a_3 [/mm] = (1/2;0;1/6). und wenn ich rechne: (1/2;0;1/6) [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] = 2/3 komm ich ja auf das gleiche ergebnis, aber warum? *verwirrtbin* funktioniert das immer so, dass man den Basisvektor* mit dem andren multipliziert und dann herausbekommt auf was er abgebildet wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> aber jetzt muss ich dich doch nochmal was fragen zu teil
> a):
> hab über den komplizierteren weg mit matrix invertieren
> doch herausbekommen [mm]a_3[/mm] = (1/2;0;1/6). und wenn ich rechne:
> (1/2;0;1/6) [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] = 2/3 komm ich ja auf das
> gleiche ergebnis, aber warum? *verwirrtbin*
Das kannst du explizit nachrechnen: Wenn du die Matrix mit $B$ bezeichnest, deren Spalten gerade die [mm] $b_i$ [/mm] sind, dann ist ja [mm] $B^{-1} [/mm] B = E$, die Einheitsmatrix. Also ist [mm] $B^{-1} b_i [/mm] = [mm] e_i$, [/mm] der $i$-te Standardeinheitsvektor. Somit siehst du, dass die $j$-te Zeile von [mm] $B^{-1}$ [/mm] gerade [mm] $b_j^\ast$ [/mm] ist.
> funktioniert
> das immer so, dass man den Basisvektor* mit dem andren
> multipliziert und dann herausbekommt auf was er abgebildet
> wird?
Ja, zumindest wenn man ihn in dieser Darstellung hat.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi felix!
hmm, also soweit komm ich mit
"Wenn du die Matrix mit bezeichnest, deren Spalten gerade die [mm] b_i [/mm] sind, dann ist ja [mm] B^{-1} [/mm] B=E , die Einheitsmatrix. Also ist [mm] B^{-1} b_i=e_i [/mm] , der -ite Standardeinheitsvektor."
aber warum ist dann die jte zeile [mm] b_j [/mm] * ?? das leuchtet mir noch nicht ganz ein...
oder ist das weil [mm] b_j b_j [/mm] * = 1 geben muss, ist das dann die 1 von dem einheitsvektor ?? *grübel*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> hmm, also soweit komm ich mit
> "Wenn du die Matrix mit bezeichnest, deren Spalten
> gerade die [mm]b_i[/mm] sind, dann ist ja [mm]B^{-1}[/mm] B=E , die
> Einheitsmatrix. Also ist [mm]B^{-1} b_i=e_i[/mm] , der -ite
> Standardeinheitsvektor."
Ok.
> aber warum ist dann die jte zeile [mm]b_j[/mm] * ?? das leuchtet
> mir noch nicht ganz ein...
> oder ist das weil [mm]b_j b_j[/mm] * = 1 geben muss, ist das dann
> die 1 von dem einheitsvektor ?? *grübel*
Du meinst weil [mm] $b_j^\ast b_j [/mm] = 1$ ist? Genau. Und weil [mm] $b_j^\ast b_i [/mm] = 0$ ist fuer $i [mm] \neq [/mm] j$: Es ist ja [mm] $B^{-1} b_i$ [/mm] grad der Vektor [mm] $(b_1^\ast b_i, \dots, b_n^\ast b_i)$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi felix!!
das ist ja cool, so macht das ganze sinn *lichtaufgeh* :)
vielen vielen dank, ohne deine erklärungen hätte ich das nicht gecheckt!
gruß riley ;)
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