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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Fr 05.06.2009 | | Autor: | physicus |
Hi zusammen!
Ich befasse mich gerade mit der Dualitätstheorie und habe eine Frage:
[mm] \phi \in [/mm] Hom(V,W) und [mm] \phi^{\*} [/mm] ist die dazu duale Abbildung.
nun folgende Gleichungskette:
[mm] <\phi(v),w^{\*}> [/mm] = [mm] w^{\*}(\phi(v))=\phi^{\*}(w^{\*})(v)=
[/mm]
Mir sind alle Gleichheitszeichen klar bis auf das 2. Also warum ist:
[mm] w^{\*}(\phi(v))=\phi^{\*}(w^{\*})(v)
[/mm]
Danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi zusammen!
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> Ich befasse mich gerade mit der Dualitätstheorie und habe
> eine Frage:
>
> [mm]\phi \in[/mm] Hom(V,W) und [mm]\phi^{\*}[/mm] ist die dazu duale
> Abbildung.
>
> nun folgende Gleichungskette:
>
> [mm]<\phi(v),w^{\*}>[/mm] =
> [mm]w^{\*}(\phi(v))=\phi^{\*}(w^{\*})(v)=[/mm]
>
> Mir sind alle Gleichheitszeichen klar bis auf das 2. Also
> warum ist:
> [mm]w^{\*}(\phi(v))=\phi^{\*}(w^{\*})(v)[/mm]
Das ist doch die Def. von [mm] \phi^{\*} [/mm] !!!.
Für [mm] w^{\*} [/mm] ist doch [mm] \phi^{\*}(w^{\*}) [/mm] eine Linearform auf V. Und diese ist def. durch
[mm]\phi^{\*}(w^{\*})(v) = w^{\*}(\phi(v))[/mm]
FRED
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> Danke für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Fr 05.06.2009 | | Autor: | physicus |
hm...irgendwie scheint mir die Schreibweise nicht klar zu sein:
also [mm] \phi^{\*} \in Hom(W^{\*},V^{\*})
[/mm]
[mm] w^{\*}(\phi(v)) [/mm] bedeutet ja dass ich zuerst ein v [mm] \in [/mm] V auf ein w [mm] \in [/mm] W abbilde. Darauf ist dann meine Linearform [mm] w^{\*} [/mm] definiert und ich erhalte am Schluss ein Element aus dem zu Grunde liegenden Körper [mm] \IK.
[/mm]
Jetzt aber wie ist [mm] \phi^{\*}w^{\*}(v) [/mm] zu verstehen? [mm] w^{\*}(v) [/mm] ist ja gar nicht definiert. Also muss ich zuerst [mm] \phi^{\*} [/mm] auf [mm] w^{\*} [/mm] anwende. Dadurch erhalte ich eine Linearform welche von V nach [mm] \IK [/mm] geht und darauf ist v definiert. also bedeutet [mm] \phi^{\*}w^{\*}(v) [/mm] eher [mm] (\phi^{\*}w^{\*})(v)?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Sa 06.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> hm...irgendwie scheint mir die Schreibweise nicht klar zu
> sein:
>
> also [mm]\phi^{\*} \in Hom(W^{\*},V^{\*})[/mm]
>
> [mm]w^{\*}(\phi(v))[/mm] bedeutet ja dass ich zuerst ein v [mm]\in[/mm] V auf
> ein w [mm]\in[/mm] W abbilde. Darauf ist dann meine Linearform
> [mm]w^{\*}[/mm] definiert und ich erhalte am Schluss ein Element aus
> dem zu Grunde liegenden Körper [mm]\IK.[/mm]
> Jetzt aber wie ist [mm]\phi^{\*}w^{\*}(v)[/mm] zu verstehen?
> [mm]w^{\*}(v)[/mm] ist ja gar nicht definiert. Also muss ich zuerst
> [mm]\phi^{\*}[/mm] auf [mm]w^{\*}[/mm] anwende. Dadurch erhalte ich eine
> Linearform welche von V nach [mm]\IK[/mm] geht und darauf ist v
> definiert. also bedeutet [mm]\phi^{\*}w^{\*}(v)[/mm] eher
> [mm](\phi^{\*}w^{\*})(v)?[/mm]
Ja
FRED
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