Dreifachintegralaufgabe lösen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Di 22.03.2005 | | Autor: | Vechs |
Hallo erstmal,
ich muss eine Aufgabe lösen, bei der ich absolut keinen Lösungsanfang finde :( Das einzige was wir bisher rausgefunden haben ist das es sich um eine Parabelausschnitt handeln muss der hier berechnet werden muss.
Die Aufgabe selber lautet :
Berechnen Sie das Volumen des Körpers der durch folgende Flächen begrenzt wird :
[mm] z=x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
x + y = 4 , x=0, y=0, z=0
Das einzige was ich dazu in Büchern (Papula Band 2) gefunden habe ist das [mm] z=x^2+y^2 [/mm] ein Rotationsparaboloid ist, quasi eine 3d Parabel die um die z Achse rotiert.
Wenn mir hier jemand helfen kann, dann tut bitte so als habt ihr hier nen absoluten Idioten sitzen  (so komm ich mir momentan auch vor, so schwer ist das hier bestimmt nicht, aber ich finde den Ansatz nicht)
Ich brauche diese Aufgabe für eine Hausarbeit, ich muss Sie später erklären können.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/18149,0.html?sid=bddbf925eb7013c25940a5ff4297c24a
Mfg, Vechs
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Hallo,
nun die Grenzen zwischen den integriert werden soll sind ja schon gegeben:
[mm]\begin{gathered}
0\; \leqslant \;z\; \leqslant \;x^{2} \; + \;y^{2} \hfill \\
0\; \leqslant \;y\; \leqslant \;4\; - \;x \hfill \\
0\; \leqslant x \leqslant \;4 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Diese Bedingungen lassen sich aus den gegebenen Gleichungen herleiten.
Demnach lautet das Dreifachintegral:
[mm]V\; = \;\int\limits_0^4 {\int\limits_0^{4\; - \;x} {\int\limits_0^{x^{2} \; + \;y^{2} } {dz\;dy\;dx} } } [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 22.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo mathepower!
> [mm]\begin{gathered}
0\; \leqslant \;z\; \leqslant \;x^{2} \; + \;y^{2} \hfill \\
0\; \leqslant \;y\; \leqslant \;4\; - \;x \hfill \\
0\; \leqslant x \leqslant \;4 \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Woher kommt denn die dritte Bedingung? Die ersten zwei sind mir klar, aber woher die dritte kommt, sehe ich nicht. Und wo hast du x=0, y=0, z=0 benutzt - oder wofür war das angegeben?
> Diese Bedingungen lassen sich aus den gegebenen Gleichungen
> herleiten.
>
> Demnach lautet das Dreifachintegral:
>
> [mm]V\; = \;\int\limits_0^4 {\int\limits_0^{4\; - \;x} {\int\limits_0^{x^{2} \; + \;y^{2} } {dz\;dy\;dx} } }[/mm]
Also wäre das dann:
[mm] V=\integral_0^4\integral_0^{4-x}\integral_0^{x^2+y^2}dzdydx=\integral_0^4\integral_0^{4-x}(x^2+y^2)zdydx=\integral_0^4(x^2z+\bruch{1}{3}(4-x)^3z)dx [/mm] usw.?
Ich hoffe, ich habe mich jetzt hier nicht beim Integrieren vertan...
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo,
Aus unterer Grenze [mm]z\; = \;0[/mm] und oberer Grenze [mm]z = \;x^{2} \; + \;y^{2} [/mm] folgt [mm]0\; \leqslant \;z\; \leqslant \;x^{2} \; + \;y^{2} [/mm].
Aus unterer Grenze [mm]y\; = \;0[/mm] und der Tatsache, daß für die obere Grenze [mm]x\; + \;y\; = \;4[/mm] erfüllt sein muß, folgt [mm]0\; \leqslant \;y\; \leqslant \;4\; - \;x[/mm]
Aus unterer Grenze [mm]x\; = \;0[/mm] und der Tatsache, daß für die obere Grenze 4-x=0 erfüllt sein muss, folgt [mm]0\; \leqslant x \leqslant \;4[/mm]
Das Integral berechnet sich etwas anders:
[mm]\begin{gathered}
V\; = \;\int\limits_0^4 {\int\limits_0^{4\; - \;x} {\int\limits_0^{x^2 \; + \;y^2 } {dz\;dy\;dx} } } \hfill \\
= \;\int\limits_0^4 {\int\limits_0^{4 - x} {\left[ z \right]_0^{x^2 \; + \;y^2 } } } dy\;dx \hfill \\
= \;\int\limits_0^4 {\int\limits_0^{4 - x} {x^2 \; + \;y^2 \;} } dy\;dx \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
usw.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Di 22.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
Denk an den Finanzheini!
Mit lieben Grüssen
Paul
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