Dreifachintegral Zylinderkoord < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie mit Hilfe eines Dreifachintegrals das Volumen eines Rotationsellipsoiden mit den Achsen 2a und 2b |
Bekannt ist die Formel einer Viertelellipse mit den Halbachsen a und b. Diese ist nach y aufgelöst:
[mm] $y=\frac{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2}$
[/mm]
Damit der Flächeninhalt der Viertelellipse:
[mm] $A=\integral_{x=0}^{a}\integral_{y=0}^{\frac{b}{a}*\wurzel{a^2-\rho^2}}{dy}{dx}$
[/mm]
Um daraus nun einen Rotationsellipsoiden zu machen muss ich noch ein Integral mit einer Drehung um die x-Achse davor stellen und das ganze mit 2 multiplizieren.
[mm] $V=2*\integral_{\phi=0}^{2\pi}\integral_{\rho=0}^{a}\integral_{z=0}^{\frac{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2}}{\rho}{dz}{d\rho}{d\phi}$
[/mm]
Könnte mir jemand erklären, warum jetzt als Integrand ein [mm] \rho [/mm] dazu gekommen ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Sa 10.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du rechnest ja jetzt in Zylinderkoordinaten, [mm] x=rcos\phi. y=rsin\phi
[/mm]
ein Flächenelement (Miniquadrat) hat dabei die Fläche [mm] dA=r*d\phi [/mm] *dr
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Hintergrund ist die Funktionaldeterminante, richtig?
Also die Jacobi-Determinante.
Kann ich in Zylinderkoordinaten auch eine Kugel berechnen oder muss ich dafür Kugelkoordinaten nehmen?
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Hallo!
Naja, die Determinante leistet die mathematische Arbeit dahinter.
Mal ganz einfach:
In kart. Koordinaten hast du kleine Quader mit Volumen dV=dx*dy*dz .
In Zylinderkoordinaten hat so ein Quader die Seiten dr und dz , die dritte Seite ist aber [mm] r*d\phi [/mm] . Macht zusammen [mm] dV=r*d\phi*dr*dz
[/mm]
Wenn man das nun mathematisch aufarbeitet, kommt man darauf, daß dieser Vorfaktor die Jacobi-Determinante ist.
Zu deiner zweiten Frage:
Es gibt keine Regel, die es verbietet, das Kugelvolumen in Kugelkoordinaten zu berechnen.
Du kannst es ja mal mit kart. Koordinaten probieren. Dabei wirst du aber schnell feststellen, daß das sehr kompliziert wird.
(Ich weiß grade gar nicht, ob das analytisch überhaupt geht)
Beim Wechsel zu Kugelkoordinaten mußt du zwar einen Moment über die neuen Grenzen und die Determinante nachdenken, die Integration selbst ist aber ein Kinderspiel.
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