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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:45 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | f(x) := [mm] \begin{cases} \infty, & \mbox{für } x \in (-\infty,0] \\ \frac{1}{x}, & \mbox{für } x \in (0,1] \\ x, & \mbox{für } x \in (1,\infty) \end{cases} [/mm] |
Hallo,
für diese Funktion soll gelten, dass f(x+y) [mm] \leq [/mm] f(x) + f(y) gilt. Also kann man das einfach so einsehen, dass für x+y [mm] \in (1,\infty) [/mm] gilt f(x+y) = x+y [mm] \leq [/mm] x+y.
Für x+y [mm] \in (-\infty,0] [/mm] ist es sowieso [mm] \infty [/mm] und für x+y [mm] \in [/mm] (0,1]:
f(x+y) = [mm] \frac{1}{x+y} [/mm] , nur warum ist das kleiner gleich [mm] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}?
[/mm]
Wär super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte...
Viele Grüße,
Riley
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> f(x) := [mm]\begin{cases} \infty, & \mbox{für } x \in (-\infty,0] \\ \frac{1}{x}, & \mbox{für } x \in (0,1] \\ x, & \mbox{für } x \in (1,\infty) \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
> für diese Funktion soll gelten, dass f(x+y) [mm]\leq[/mm] f(x) +
> f(y) gilt.
> und für x+y
> [mm]\in[/mm] (0,1]:
> f(x+y) = [mm]\frac{1}{x+y}[/mm] , nur warum ist das kleiner gleich
> [mm]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}?[/mm]
Hallo,
Du sollst zeigen, daß [mm] f(x+y)\le [/mm] f(x)+f(y) gilt.
Wenn nun [mm] x+y\in [/mm] (0,1] liegt, heißt das ja noch lange nicht, daß x und y beide diesem Intervall entstammen.
Betrachte z.B. x=-5, y=5.5.
Daß die x,y auch negativ sein können, vergißt Du auch bei der Betrachtung von [mm] x+y\in (1,\infty).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Angela,
ops, danke für deine Hinweise. Ich habe nun mal die ganzen Fälle aufgeschrieben:
1.
a) x [mm] \in (-\infty,0], [/mm] y [mm] \in(-\infty,0] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (-\infty,0]
[/mm]
b) x [mm] \in (-\infty,0], [/mm] y [mm] \in(0,1] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (-\infty,1]
[/mm]
c) x [mm] \in (-\infty,0], [/mm] y [mm] \in(1,\infty) \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (-\infty, \infty)
[/mm]
2.
a) x [mm] \in [/mm] (0,1], y [mm] \in(-\infty,0) \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (-\infty,1]
[/mm]
b) x [mm] \in [/mm] (0,1], y [mm] \in(0,1] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] (0,2]
c) x [mm] \in [/mm] (0,1], y [mm] \in(1,\infty) \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (1,\infty)
[/mm]
3.
a) x [mm] \in (1,\infty), [/mm] y [mm] \in (-\infty,0) \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (-\infty, \infty)
[/mm]
b) x [mm] \in (1,\infty), [/mm] y [mm] \in [/mm] (0,1] [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] (1, [mm] \infty)
[/mm]
c) x [mm] \in (1,\infty), [/mm] y [mm] \in (1,\infty) \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] (2, [mm] \infty)
[/mm]
D.h. ich muss so alles durchprobieren ?
Bei 1.) ist ja f(x) = [mm] \infty [/mm] und somit f(x) + f(y) = [mm] \infty, [/mm] d.h. es gilt auch immer f(x+y) [mm] \leq [/mm] f(x) + f(y).
Bei 2. haben wir f(x) = [mm] \frac{1}{x}.
[/mm]
2a) ist ok, da f(y) = [mm] \infty, [/mm] also f(x)+f(y) = [mm] \infty \geq [/mm] f(x+y).
2b) f(x+y) = [mm] \begin{cases} \frac{1}{x+y}, & \mbox{für } x+y \in (0,1] \\ x+y, & \mbox{für } x+y \in (1,2] \end{cases}
[/mm]
D.h. hier stoß ich wieder auf mein Problem. Z.z. [mm] \frac{1}{x+y} \leq \frac{1}{x} [/mm] + [mm] \frac{1}{y} [/mm] falls x+y [mm] \in(0,1] [/mm] und x+y [mm] \leq \frac{1}{x} [/mm] + [mm] \frac{1}{y} [/mm] für x+y [mm] \in [/mm] (1,2].
Achso, ich glaub ich seh es, es gilt ja dann x+y [mm] \in [/mm] (1,2] bzw. x+y [mm] \in(0,1] [/mm] und x,y [mm] \in [/mm] (0,1] und dann stimmen die Ungleichungen. Nur wie schreibt man das "schön" auf?
Also gibt es hier auch einen schnelleren Weg das einzusehen ohne die ganzen Fallunterscheidungen?
Vielen Dank für deine Hilfe!
Viele Grüße,
Riley
edit: fehler verbessert
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Du kannst Fälle zusammenfassen und triviale Fälle vorweg behandeln, dann wird es übersichtlicher.
Wenn [mm]x \leq 0[/mm] oder [mm]y \leq 0[/mm] ist, dann ist die rechte Seite der Ungleichung [mm]\infty[/mm], die Ungleichung also trivialerweise wahr. Man darf daher für das Weitere
[mm]x>0 \ \ \text{und} \ \ y>0[/mm]
annehmen.
1. Sind [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] beide größer [mm]1[/mm], so ist auch [mm]x+y > 1[/mm], und die Ungleichung ist wegen [mm]x+y \leq x+y[/mm] erfüllt.
2. Liegen die beiden Größen [mm]x,y[/mm] auf verschiedenen Seiten der [mm]1[/mm], etwa [mm]x>1[/mm] und [mm]y \leq 1[/mm], dann lautet die zu beweisende Ungleichung, da auch [mm]x+y > 1[/mm] ist,
x+y [mm] \leq [/mm] x + [mm] \frac{1}{y}
[/mm]
Und das ist äquivalent zu [mm]y \leq \frac{1}{y}[/mm], was für [mm]0 < y \leq 1[/mm] wahr ist.
3. Jetzt bleibt nur noch der Fall, daß [mm]x,y[/mm] beide Element von [mm](0,1][/mm] sind.
a) Falls auch noch [mm]x+y \in (0,1][/mm] ist, dann folgt, da [mm]f[/mm] in [mm](0,1][/mm] streng monoton fällt und positiv ist, sofort
[mm]f(x+y) < f(x) < f(x) + f(y)[/mm]
b) Ist dagegen [mm]x+y > 1[/mm], so ist
[mm]x+y \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}[/mm]
nachzuweisen. Das ist aber äquivalent zu [mm]x+y \leq \frac{x+y}{xy}[/mm] und damit zu [mm]xy \leq 1[/mm]. Das ist aber für [mm]x,y \in (0,1][/mm] wahr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Riley |
Hi,
super, vielen Dank für deine Antwort!
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:24 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab nochmal eine Frage zu dieser Funktion. f ist ja konvex.
Wenn man nun betrachtet
[mm] F(x):=\max_{i=1,...,n} f(x_i), [/mm] mit [mm] x=(x_1,...,x_n)^T\in\IR^n.
[/mm]
Das punktweise Maximum von konvexen Funktionen ist ja wieder konvex.
Warum kann man dann nicht einfach so begründen, dass F(x) wieder konvex ist?
Für was macht es Sinn das so umzuschreiben:
[mm] F(x)=\max_{i=1,...,n}f() [/mm] ? [mm] (e_k [/mm] ist der k.te Einheitsvektor.)
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Fr 25.07.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich hab nochmal eine Frage zu dieser Funktion. f ist ja
> konvex.
> Wenn man nun betrachtet
> F(x) := [mm]max_{i=1,...,n} q(x_i),[/mm] mit [mm]x=(x_1,...,x_n)^T \in \IR^n.[/mm]
Was ist q ?
>
> Das punktweise Maximum von konvexen Funktionen ist ja
> wieder konvex.
> Warum kann man dann nicht einfach so begründen, dass F(x)
> wieder konvex ist?
> Für was macht es Sinn das so umzuschreiben:
> F(x) = [mm]max_{i=1,...,n} q()[/mm] ? [mm](e_k[/mm] ist der k.te
> Einheitsvektor.)
>
> Viele Grüße,
> Riley
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Riley |
sorry, Tippfehler, nicht q sondern f (ich verbessere es gleich). Damit ist die Funktion gemeint, die ich im ersten Post aufgeschrieben habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 29.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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