Dreieck,Schwerpunkt (Beweis) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei S der Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Zeige, dass
$ [mm] \vec{BS}=\bruch{1}{3}\vec{b}-\bruch{2}{3}\vec{a} [/mm] $
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo, ich hoffe Ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen, denn ich habe gar keine Ahnung, wo ich überhaupt ansetzen soll.Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Do 05.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
Sind die Koordinaten von A,B,C bekannt?
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Ne man soll das allgemein beweisen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Do 05.04.2007 | | Autor: | Fschmidt |
Geht Vektor [mm] \vec{a} [/mm] von A nach B oder von B nach A?
Geht Vektor [mm] \vec{b} [/mm] von A nach C oder von C nach A?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Do 05.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
Auf dem Bild sieht Punkt S nicht als der Schwerpunkt. Ich würde sagen eher als Schnittpunkt der Medianen.
Sorry, habe mit Mittelsenkrechten und Umkreismittelpunkt
verwechselt.
Ist [mm] \overrightarrow{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] = [mm] \overrightarrow{BC}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Do 05.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann nimm mal an, du kennst A, B und C.
Ich bezeichne
Dann gilt:
[mm] \overrightarrow{AM}=\bruch{1}{2}\overrightarrow{AC}=\bruch{1}{2}\vec{b}
[/mm]
Und (P ist der Mittelpunt der Strecke AC)
[mm] \overrightarrow{AP}=\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}=\bruch{1}{2}\vec{a}
[/mm]
Und jetzt berechne mal den Schnittpunkt der Geraden
g: [mm] \vec{x}=\vec{m}+\lambda\overrightarrow{MB}
[/mm]
und [mm] h:\vec{x}=\vec{P}+\lambda\overrightarrow{PC}
[/mm]
Dann sollte das Ergebnis herauskommen.
Marius
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Also erstmal ist [mm] \vec{a}=\vec{AB} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vec{AC}
[/mm]
Die Koordinaten der Punkte sind nicht gegeben und man soll das allgemein beweisen, um dann auf die gegebene Formel zu kommen!Das seh ich bei dir irgendwie nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Do 05.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
Also dann :
[mm] \overline{BM} [/mm] = [mm] -\overline{a}+ \bruch{1}{2}\overline{b}
[/mm]
Punkt S teilt BM im Verhältnis 2:1 von B [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BS} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*\overrightarrow{BM} [/mm] =
[mm] \bruch{2}{3}* (-\overline{a}+ \bruch{1}{2}\overline{b}) [/mm] =
[mm] -\bruch{2}{3}\overline{a}+ \bruch{1}{3}\overline{b})
[/mm]
habe korrigiert.
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Also ich denke nicht, dass das ein richtiger Beweis ist.
Denn wenn man deinen Lösungsansatz wählen würde, müsste man auch beweisen, dass der Punkt S die Strecke BM im Verhältnis 2:1 von B teilt und dies nicht einfach so annehmen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Do 05.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Dann versuch das doch mal zu zeigen
Marius
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Ja wenn ich das könnte hätte ich mich ja nicht an euch gewendet!
Ich hab echt keine Ahnung, wie ich das beweisen könnte!
Beweise sind eh nicht so meine Sache, kann eher was mit konkreten Werten was anfangen.
Wäre dankbar, wenn mir jemand von euch bei dieser Aufgabe weiterhelfen könnte!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Do 05.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
Eigentlich sollte dieser Stoff ungefähr in 8.Klasse behandelt werden. Ich würde schon die bewiesenen Fakten verwenden.
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Hallo,
eines gilt: Die Seitenhalbierenden teilen einander in einem Verhältnis von 2:1. Dies musst du hier nicht zeigen.
[mm] \bruch{1}{2}*\vec{b}-\vec{a}=\overrightarrow{BM}
[/mm]
Wenn ich jetzt durch [mm] \bruch{3}{2} [/mm] teile wird aus [mm] \overrightarrow{BM}*\bruch{2}{3}=\overrightarrow{BS}
[/mm]
...also
[mm] \bruch{1}{3}*\vec{b}-\bruch{2}{3}\vec{a}=\overrightarrow{BS}
[/mm]
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/schwerpunktdreieck.htm ...hier findest du den beweis, dass 2seitenhalbierenden einander im Verhältnis 2:1 teilen.
Liebe Grüße
Andreas
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Das ist mir schon klar dass die seitenhalbierenden sich im Verhältnis 2:1 schneiden. Nur man soll eben das beweisen!
Ich hab folgende Lösung zu dieser Aufgabe in einem Buch gefunden:
Es sei M die Mitte der Seite $ [mm] \overline{AC} [/mm] $ und N die Mitte der Seite [mm] \overline{BC}
[/mm]
Geschlossene Vektorkette: [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BS} [/mm] + [mm] \overrightarrow{SA}= \vec{0}, [/mm] also [mm] \vec{a} [/mm] + r [mm] \overrightarrow{BM} [/mm] + s [mm] \overrightarrow{NA}= \vec{0},
[/mm]
das heißt: [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] r(\bruch{1}{2}\vec{b}-\vec{a}) [/mm] - [mm] s(\vec{a} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})) [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Hieraus folgt: r = s = [mm] \bruch{2}{3}; [/mm] deshalb gilt: [mm] \overrightarrow{BS} [/mm] = $ [mm] \bruch{2}{3}\overrightarrow{BM} [/mm] $ = [mm] \bruch{2}{3}(\bruch{1}{2}\vec{b}-\vec{a}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\vec{b} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}\vec{a}.
[/mm]
Das Problem ist, dass ich den Beweis ab der 2. Zeile nicht mehr nachvollziehen kann. Würde mich freuen, wenn jemand weiß, was damit gemeint ist und mir das erklären könnte.Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Do 05.04.2007 | | Autor: | riwe |
> Das ist mir schon klar dass die seitenhalbierenden sich im
> Verhältnis 2:1 schneiden. Nur man soll eben das beweisen!
> Ich hab folgende Lösung zu dieser Aufgabe in einem Buch
> gefunden:
>
> Es sei M die Mitte der Seite [mm]\overline{AC}[/mm] und N die Mitte
> der Seite [mm]\overline{BC}[/mm]
> Geschlossene Vektorkette: [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\overrightarrow{BS}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{SA}= \vec{0},[/mm] also [mm]\vec{a}[/mm] + r
> [mm]\overrightarrow{BM}[/mm] + s [mm]\overrightarrow{NA}= \vec{0},[/mm]
> das
> heißt: [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]r(\bruch{1}{2}\vec{b}-\vec{a})[/mm] - [mm]s(\vec{a}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}))[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
> Hieraus folgt: r = s = [mm]\bruch{2}{3};[/mm] deshalb gilt:
> [mm]\overrightarrow{BS}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}\overrightarrow{BM}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}(\bruch{1}{2}\vec{b}-\vec{a})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}\vec{b}[/mm] - [mm]\bruch{2}{3}\vec{a}.[/mm]
> Das Problem ist, dass ich den Beweis ab der 2. Zeile nicht
> mehr nachvollziehen kann. Würde mich freuen, wenn jemand
> weiß, was damit gemeint ist und mir das erklären
> könnte.Danke
>
ich vermute das ist zeile 2:
[mm]\vec{a} +r(\bruch{1}{2}\vec{b}-\vec{a}) - s(\vec{a} +\bruch{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})) = \vec{0}[/mm]
zusammenfassen ergibt:
[mm] \vec{a}(1-\frac{s}{2}-r)+\frac{\vec{b}}{2}(r-s)=\vec{o}
[/mm]
da die beiden vektoren (nach voraussetzung) linear unabhängig sind, müssen beide faktoren verschwinden. daraus folgt:
[mm]r = s[/mm] (aus dem faktor von [mm] \vec{b}) [/mm] und damit [mm]r=s= \frac{2}{3}[/mm].
einsetzen liefert das gewünschte
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