Dreieck Schwerpunkt < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 So 15.03.2009 | | Autor: | Swifty |
| Aufgabe | | Zeigen Sie allgemein, dass der Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC Fixpunkt der affinen Abbildung ist, die A auf B, B auf C und C auf A abbildet. |
Hallo!
Bei der Aufgabe komm ich echt nicht weiter, und dabei hab ich schon soviel ausprobiert ..
ich hab z.b. eine aff Abbildung aufgestellt, und dann halt die Punkte eingesetzt.
Danach hatte ich 6 Gleichungen mit 12 Unbekannten, und das kann ja nur falsch sein ...
Ich weiss auch, dass der Schwerpunkt s = 1/3*(a+b+c) ist [a,b,c sind Vektoren).
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte...
Danke schonmal
mfg
Swifty
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Hallo!
Nimm doch einfach an, es gibt eine affine Abbildung M bestehend aus einer linearen Abbildung L und einer Verschiebung: [mm] \vec{y}=M(\vec{x})=L(\vec{x})+\vec{t} [/mm] . Diese soll jetzt per Definition die Eigenschaft
[mm] \vec{B}=M(\vec{A})=L(\vec{A})+\vec{t}
[/mm]
[mm] \vec{C}=M(\vec{B})=L(\vec{B})+\vec{t}
[/mm]
[mm] \vec{A}=M(\vec{C})=L(\vec{C})+\vec{t}
[/mm]
haben. Was ist dann [mm] A(\vec{s}) [/mm] , wobei s dein Schwerpunkt ist?
Denk dran, lineare Abbildungen sind linear. Was bedeutet das? Wie kannst du umformen?
Die Rechnung läßt sich in zwei Zeilen hinschreiben und ist recht einfach. Die Idee, Matrizen o.ä. zu berechnen, fürht zu nichts, denn du sollst das allgemein zeigen, es muß also auch im 42-dimensionalen Raum gelten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 15.03.2009 | | Autor: | Swifty |
Hallo!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Das man für die Aufgabe quasi nur 2 Zeilen brauch hätt ich nicht gedacht, hab bis jetzt bei meinen alten versuchen über 2 Seiten ...
Also für den Schwerpunkt S muss ja gelten (weil es halt ein FP ist):
[mm] \vec{S} [/mm] = [mm] M(\vec{S}) [/mm] = [mm] L(\vec{S}) [/mm] + [mm] \vec{t}
[/mm]
ich hab jetzt die Gleichung nach [mm] \vec{t} [/mm] aufgelöst und in deine 3 oben genannten Gleichungen eingesetzt.
Eigentlich versteh ich sowohl die Aufgabe als auch deinen Ansatz, nur irgendwie wills nicht richtig klick machen, ich komm einfach nicht auf eine vernünftige Lösung :-(
mfg
Swifty
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Hi!
Du sollst nicht nach [mm] \vec{t} [/mm] auflösen.
Setze doch mal [mm] \vec{s}=\frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}) [/mm] ein, und benutze die Linearität sowie das Distributivgesetz für lin. Funktionen.
DANN kannst du meine drei Formeln benutzen, und dann steht es da.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 So 15.03.2009 | | Autor: | Swifty |
hi
also wenn ich für [mm] \vec{s} [/mm] = [mm] 1/3*(\vec{A} [/mm] + [mm] \vec{B} [/mm] + [mm] \vec{c}) [/mm] einsetze und das dann umforme, komm ich auf:
[mm] \vec{A} [/mm] + [mm] \vec{B} [/mm] + [mm] \vec{C} [/mm] = [mm] L(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}) [/mm] + 3t
Das hab ich dann nach [mm] \vec{A} [/mm] umgeformt und hier eingesetzt:
[mm] \vec{A} [/mm] = [mm] L(\vec{A}) [/mm] + t
also
[mm] L(\vec{A}) [/mm] + t + [mm] \vec{B} [/mm] + [mm] \vec{C} [/mm] = [mm] L(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}) [/mm] + 3t
<=>
[mm] \vec{B} [/mm] + [mm] \vec{C} [/mm] = [mm] L(\vec{B} [/mm] + [mm] \vec{C}) [/mm] + 2t
<=>
[mm] \vec{B} [/mm] = [mm] L(\vec{B} [/mm] + [mm] \vec{C}) [/mm] + 2t - [mm] \vec{C}
[/mm]
<=>
[mm] \vec{B} [/mm] = [mm] L(\vec{B}) [/mm] + [mm] L(\vec{C}) [/mm] + 2t - [mm] \vec{C}
[/mm]
ich komm aber irgendwie nicht auf eine vernünftige Lösung :-(
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Hmmm, woher kommen deine 3t?
[mm] M(1/3(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}))=L(1/3*(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}))+\vec{t}
[/mm]
Jetzt ist L ja linear, und dann gilt [mm] L(1/3*(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}))=1/3*L(\vec{A})+1/3*L(\vec{B})+1/3*L(\vec{C})
[/mm]
Kannst du das mit meinen drei Formeln verbasteln, sodaß da [mm] 1/3*(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}) [/mm] raus kommt?
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