Drehung 3D Koordinatensystem < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Di 03.12.2013 | | Autor: | Fahrrad |
Hallo
ich habe ein Problem mit der Berechnung eines Koordinatensystem. Das Ausgangsszenario ist folgendes:
Ein Roboter bestimmt zwei Punkte im Raum mit den Koordinaten X,Y und Z. Alle Angaben sind immer relativ zu einem fixen Punkt (Ursprungskoordinatensystem). Nun soll ein zweites Koordinatensystem angelegt werden, welches den ersten Punkt als Ursprung hat und dessen Z-Achse durch die beiden Punkte läuft. Berechnet werden sollen nun die 3 Drehwinkel der 3 Achsen des neuen System relativ zum Ursprungskoordinatensystem. Bekannt ist dabei die Drehung der Z-Achse.
Ich habe versucht mit einen dritten Punkt zu berechnen, welcher auf der (neuen) X oder Y Achse liegt um dann eine Ebene aufzuspannen und per Kreuzprodukt die fehlenden Achsenvektoren zu berechnen. Bin dabei jedoch bisher gescheiert.
Sobald ich 3 (passende) Punkte hätte, könnte ich die Winkel einfach bestimmen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> ich habe ein Problem mit der Berechnung eines
> Koordinatensystem. Das Ausgangsszenario ist folgendes:
>
> Ein Roboter bestimmt zwei Punkte im Raum mit den
> Koordinaten X,Y und Z. Alle Angaben sind immer relativ zu
> einem fixen Punkt (Ursprungskoordinatensystem). Nun soll
> ein zweites Koordinatensystem angelegt werden, welches den
> ersten Punkt als Ursprung hat und dessen Z-Achse durch die
> beiden Punkte läuft. Berechnet werden sollen nun die 3
> Drehwinkel der 3 Achsen des neuen System relativ zum
> Ursprungskoordinatensystem. Bekannt ist dabei die Drehung
> der Z-Achse.
>
> Ich habe versucht mit einen dritten Punkt zu berechnen,
> welcher auf der (neuen) X oder Y Achse liegt um dann eine
> Ebene aufzuspannen und per Kreuzprodukt die fehlenden
> Achsenvektoren zu berechnen. Bin dabei jedoch bisher
> gescheiert.
Dein Problem besitzt so wie beschrieben unendlich viele Lösungen, das ist das Problem.
> Sobald ich 3 (passende) Punkte hätte, könnte ich die
> Winkel einfach bestimmen.
Ja, du brauchst im Prinzip von drei Punkten die Koordinaten in beiden Systemen. Dann kannst du eine Transformationsmatrix aufstellen, mit der sich dann auch solche Dinge wie Drehwinkel untersuchen lassen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Fahrrad |
Hmm also mir ist nicht ganz klar, wieso es da unendlich viele Lösungen gibt.
Wenn ich eine Achse eines 3 Achsensystem durch zwei Punkte lege und die Drehung dieser Achse fest lege, dann gibt es doch für die beiden anderen Achsen jeweils nur genau einen Drehwinkel um diese Stellung zu erreichen.
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Hallo,
nein, so einfach ist das nicht. Denn du kannst die zwei anderen Achsen noch beliebig um die neue z-Achse verdrehen. Da muss also noch eine Information her, wie genau diese Drehung durchgeführt werden soll.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Fahrrad |
Genau das möchte ich doch(wie in der Aufgabenstellung beschrieben) nicht. Die Drehung der Z-Achse ist bekannt.
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> Genau das möchte ich doch(wie in der Aufgabenstellung
> beschrieben) nicht. Die Drehung der Z-Achse ist bekannt.
Hallo Fahrrad,
(diese "Anrede" klingt allerdings relativ bescheuert ...)
ich denke, dass deine Aufgabenstellung von Anfang
an nicht so recht klar gestellt war.
So wie ich das Ganze verstehe, hast du ein Ausgangs-
Koordinatensystem mit x-y- und z-Achse. Dann hast
du weiter in diesem System zwei Punkte [mm] P_1(x_1,y_1,z_1)
[/mm]
und [mm] P_2(x_2,y_2,z_2). [/mm] Nun möchtest du ein neues Koordi-
natensystem (sagen wir mit Koordinaten u,v,w), das
seinen Nullpunkt im Punkt [mm] P_1 [/mm] hat und dessen dritte
Achse (das wäre jetzt die w-Achse) in Richtung des
Vektors [mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] zeigt. Ferner hast du noch gesagt,
dass die Drehung um diese Achse bekannt sei - aber
leider hast du nicht angegeben, wie nun dieser
Drehwinkel genau definiert sein soll. Mach dir klar
und gib an, wie du ihn genau definieren willst
(als Drehwinkel zwischen einem bestimmten Ausgangs-
vektor und einem bestimmten gedrehten Vektor) !
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 05.12.2013 | | Autor: | Fahrrad |
Alles korrekt soweit. Mit dem bekannten Winkel meine ich die Drehung der Achse W relativ zur Achse Z des ursprünglichen Systems.
In einem einfachen Fall würden wir annehmen, P1 hätte die Koordinaten ( 0, 0, 0 ) und P2 ( 0,0,1) sowie der Winkel A um die Z-Achse 45°. In diesem Fall wäre das neue Koordinatensystem also im gleichen Ursprung, jedoch um 45 grad um die Z-Achse gedreht.
Nun liegen die beiden Punkte natürlich in beliebigen anderen Positionen.
Um die beiden anderen Winkel zu bestimmten habe ich nun daran gedacht, den Punkt P2 jeweils auf die XZ und YZ Ebene zu projizieren und dort dann jeweils den Winkel zwischen Z Achse und Ortsvektor des projizierten Punktes zu berechnen.
Wäre diese Annahme korrekt?
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> Alles korrekt soweit. Mit dem bekannten Winkel meine ich
> die Drehung der Achse W relativ zur Achse Z des
> ursprünglichen Systems.
>
> In einem einfachen Fall würden wir annehmen, P1 hätte die
> Koordinaten ( 0, 0, 0 ) und P2 ( 0,0,1)
Wenn ich dies richtig verstehe, wäre also die W-Achse
(des neuen Systems) identisch mit der Z-Achse (des
alten Systems) ?
> sowie der Winkel A
> um die Z-Achse 45°. In diesem Fall wäre das neue
> Koordinatensystem also im gleichen Ursprung, jedoch um 45
> Grad um die Z-Achse gedreht.
Wenn ich dies ebenfalls noch verstehe, betrachtest du
offenbar einen Vektor (den Einheitsvektor [mm] $\overrightarrow{P_1P_2}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\0\\1}$
[/mm]
des XYZ-Systems) als verschieden von dem Vektor
[mm] $\overrightarrow{P_1P_2}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\0\\1}$ [/mm] im UVW- System,
obwohl [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] in beiden Systemen dieselben zwei
Punkte bezeichnen ... Nur hast du den Vektor (in sich
selber) um einen gewissen Winkel gedreht, so wie ich
einen Bleistift in meinen Händen um seine Längsachse
drehen kann, so dass seine Spitze und sein hinteres
Ende an Ort und Stelle bleiben ... ??
An diese Betrachtungsweise muss ich mich zunächst
noch etwas gewöhnen ... Trotzdem solltest du aber
noch angeben, was du dir denn als "ursprüngliche"
Lage z.B. der U-Achse des neuen Systems vorstellst,
damit man wirklich weiß, wie man denn den Winkel
zwischen dieser "ursprünglichen" und der gedrehten
Lage begreifen soll !
> Nun liegen die beiden Punkte natürlich in beliebigen
> anderen Positionen.
> Um die beiden anderen Winkel zu bestimmten habe ich nun
> daran gedacht, den Punkt P2 jeweils auf die XZ und YZ Ebene
> zu projizieren und dort dann jeweils den Winkel zwischen Z
> Achse und Ortsvektor des projizierten Punktes zu
> berechnen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Wäre diese Annahme korrekt?
... keine Ahnung ... da ich leider immer noch nicht verstehe,
was du meinst.
LG , Al-Chw.
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