Drehkörper rotiert um y-Achse < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hätte da eine Frage betreffend einer Hausübung, die ich bekommen habe:
Y = e hoch x [1;3]
Das Flächenstück, das vom Graphen der Funktion f: y=f(x), der y-Achse sowie den Geraden y=c und y=d begrenzt wird, rotiert um die y-Achse. Berechne den Rauminhalt entstehenden Drehkörpers!
Also: ich habe so angefangen:
erst nach x umformen
-->
ln y = x * ln e
x = ln y
x² = (ln y)²
dann V(y) = pi * integral (von 1 bis 3) (ln y)² * dy
dann substituiren:
u = ln y
u'= 1/y
dy= du * y
---> [u³/3 * y²/2](von 1 bis 3)
dann habe ich 3 und 1 eingesetzt und mir kommt raus:
(9 * (ln 3)³)/6)*pi
es sollte aber laut lösungsbuch rauskommen: pi*(e-2)
findet jemand vl. irgendeinen fehler?
wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!!!!
danke, schon im voraus!!!
Andrea
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000003909&read=1&kat=Schule
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Di 15.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Andrea
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
> ich hätte da eine Frage betreffend einer Hausübung, die
> ich bekommen habe:
> Y = e hoch x [1;3]
> Das Flächenstück, das vom Graphen der Funktion f: y=f(x),
> der y-Achse sowie den Geraden y=c und y=d begrenzt wird,
> rotiert um die y-Achse. Berechne den Rauminhalt
> entstehenden Drehkörpers!
Ich nehme einmal an, dass mit
$y=c_$ gemeint ist: [mm] $y=e^1$
[/mm]
und mit
$y=b$ gemeint ist: [mm] $y=e^3$
[/mm]
>
> Also: ich habe so angefangen:
> erst nach x umformen
> -->
> ln y = x * ln e
> x = ln y
> x² = (ln y)²
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann V(y) = pi * integral (von 1 bis 3) (ln y)² * dy
> dann substituiren:
> u = ln y
das heisst also auch: $y = [mm] e^u$ [/mm]
> u'= 1/y
> dy= du * y
>
Also $dy = [mm] e^u [/mm] du$
> ---> [u³/3 * y²/2](von 1 bis 3)
Das ist mit schleierhaft. Ich erhalte eine andere Stammfunktion (siehe unten)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im Weiteren ist deine Stammfunktion offensichtlich falsch! Zur Kontrolle brauchst du die nur mal abzuleiten! 
Ich denke, die Stammfunktion, welche sich durch 2-maliges partielles Integrieren ergibt, sei diese (die Integrationskonstante lasse ich weg, da die ja für das bestimmte Integral dann sowieso wieder wegfällt):
[mm] $\integral{u^2e^u \, du}=e^u(u^2-2u+2)$
[/mm]
Bitte durch Ableiten kontrollieren!
Die Integrationsgrenzen laufen dann von 1 bis 3.
> dann habe ich 3 und 1 eingesetzt und mir kommt raus:
> (9 * (ln 3)³)/6)*pi
Gut, das kann dann nicht mehr stimmen
> es sollte aber laut lösungsbuch rauskommen: pi*(e-2)
>
Da bin ich aber nicht der gleichen Meinung. Dieser Wert ergibt sich, wenn die Integrationsgrenzen von $0_$ bis $1_$ laufen! Hast du dich da wirklich nicht verkuckt?? 
Mit lieben Grüssen
Paul
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Mi 16.02.2005 | | Autor: | andrea1020 |
Danke, für Ihre schnelle und sehr ausführliche Antwort.
In meinem Buch stehen wirklich die Grenzen [1;3].
Wahrscheinlich ist entweder die Lösung im Lösungsbuch falsch oder die Angabe im Buch.
Dankeschön.
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