Drehgruppe Tetraeder < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Sa 02.05.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Geben Sie sämtliche Elemente folgender Drehgruppen explizit an:
a) Tetraedergruppe |
Also ich habe mir jetzt folgendes gedacht:
Das Tetraeder hat 4 Flächen mit jeweils 3 Ecken. Die Flächen sind ja Dreiecke. Diese kann ich 3 mal um den Winkel [mm] \bruch{2\*\pi}{3} [/mm] drehen. Wenn ich jetzt ein Dreieck [mm] ABC [/mm] rausnehme und diese Fläche 3 mal drehe, habe ich folgende Elemente: [mm] (ABC,BCA,CAB) [/mm]. Und das mache ich auch für die 3 anderen Dreiecke. Also
Dreieck [mm] ABD [/mm]: [mm] (ABD,BDA,DAB) [/mm]
Dreieck [mm] BCD [/mm]: [mm] (BCD,CDB,DBC) [/mm]
Dreieck [mm] CAD [/mm]: [mm] (CAD,ADC,DCA) [/mm]
Also habe ich insgesamt 12 Elemente. Ist das richtig?
Vielen Dank
riju
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Da stand Unsinn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Sa 02.05.2015 | | Autor: | riju |
> Überlege dir das noch mal - richtig sind 24 Elemente.
>
Ich habe jetzt aber schon öfter gelesen das es 12 Drehungen sind.
Wie kommst du dann auf 24 Elemente?
>
> LG
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Ja du hast recht mit 12 betreffend nur der Drehgruppe.
+ 6 Ebenenspiegelungen und 6 Drehspiegelungen
12+12 = 24 Abbildungen die die Tetraedergruppe bilden.
dazu isomorph ist zb. die symm. Gruppe [mm] S_{4} [/mm] - diese besteht ebenfalls aus 24 Elementen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 02.05.2015 | | Autor: | riju |
Ich hab das jetzt so verstanden, dass ich nur die Elemente der Drehgruppe brauche und da spielt doch die Spiegelung keine Rolle. Oder sehe ich das falsch?
Hier etwas aus dem Internet:
http://www.igt.uni-stuttgart.de/LstDiffgeo/Kuehnel/sommer14/klausurloesung2014.pdf
Da kommen ebenfalls 12 Elemente raus.
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Verzeihung du hast recht - 12 Elemente ... ich habe total überlesen dass du nur die der Drehgruppe brauchst.
PArdon
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:01 Sa 02.05.2015 | | Autor: | riju |
OK :)
Sind jetzt meine Elemente richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:40 So 03.05.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Geben Sie sämtliche Elemente folgender Drehgruppen
> explizit an:
> a) Tetraedergruppe
> Also ich habe mir jetzt folgendes gedacht:
> Das Tetraeder hat 4 Flächen mit jeweils 3 Ecken. Die
> Flächen sind ja Dreiecke. Diese kann ich 3 mal um den
> Winkel [mm]\bruch{2\*\pi}{3}[/mm] drehen. Wenn ich jetzt ein Dreieck
> [mm]ABC[/mm] rausnehme und diese Fläche 3 mal drehe, habe ich
> folgende Elemente: [mm](ABC,BCA,CAB) [/mm]. Und das mache ich auch
> für die 3 anderen Dreiecke. Also
>
> Dreieck [mm]ABD [/mm]: [mm](ABD,BDA,DAB)[/mm]
> Dreieck [mm]BCD [/mm]: [mm](BCD,CDB,DBC)[/mm]
> Dreieck [mm]CAD [/mm]: [mm](CAD,ADC,DCA)[/mm]
>
> Also habe ich insgesamt 12 Elemente. Ist das richtig?
Das sind keine 12 Elemente, weil du die Identität mehrfach (4mal) gezählt hast. Es gibt noch 3 andere Drehungen.
Gruß aus HH
Dieter
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