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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Do 12.06.2008 | | Autor: | loopi |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert der Doppelsumme:
[mm]\sum_{k=1}^{n}\sum_{m=k+1}^n\bruch{m}{k(k+1)}[/mm] |
Wer kann mir helfen, diesen Wert zu berechnen?
Ich bin leider ziemlich ratlos, weil ich nicht weiß, was ich mit dem [mm] m=k+1 [/mm] anfangen soll. Würde die innere Summe von [mm]m=k[/mm] laufen, könnte man das doch durch ein Vertauschen der Indizes und auseinanderziehen der Summe lösen, aber was muß man machen, wenn es wie hier eben [mm] m=k+1[/mm] heißt?
Danke schon mal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Do 12.06.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]\sum_{k=1}^{n}\sum_{m=k+1}^n\bruch{m}{k(k+1)}[/mm]
[mm] =\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}\sum_{m=k+1}^nm\stackrel{!}{=}\sum_{k=1}^n\frac{n(n+1)-k(k+1)}{2k(k+1)}
[/mm]
Bei der zweiten Gleichheit benutzt du einfach den "kleinen Gauß". Das Ergebnis vereinfachst du weiter, da kommt dann noch ne Teleskopsumme und als Ergebnis habe ich
[mm]\frac{n(n-1)}{2}[/mm]
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> Berechnen Sie den Wert der Doppelsumme:
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> [mm]\sum_{k=1}^{n}\sum_{m=k+1}^n\bruch{m}{k(k+1)}[/mm]
> Wer kann mir helfen, diesen Wert zu berechnen?
>
> Ich bin leider ziemlich ratlos, weil ich nicht weiß, was
> ich mit dem [mm]m=k+1[/mm] anfangen soll. Würde die innere Summe von
> [mm]m=k[/mm] laufen, könnte man das doch durch ein Vertauschen der
> Indizes und auseinanderziehen der Summe lösen, aber was muß
> man machen, wenn es wie hier eben [mm]m=k+1[/mm] heißt?
>
Ich würde hier die Summationsreihenfolge ändern:
[mm]\sum_{k=1}^n\sum_{m=k+1}^n\frac{m}{k(k+1)}=\sum_{m=2}^n \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m}{k(k+1)}=\sum_{m=2}^n \sum_{k=1}^{m-1}\left(\frac{m}{k}-\frac{m}{k+1}\right)=\sum_{m=2}^n (m-1)=\sum_{m=1}^{n-1} m=\frac{n(n-1)}{2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Do 12.06.2008 | | Autor: | loopi |
> Ich würde hier die Summationsreihenfolge ändern:
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> [mm]\sum_{k=1}^n\sum_{m=1}^n\frac{m}{k(k+1)}=\sum_{m=2}^n \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m}{k(k+1)}=\sum_{m=2}^n \sum_{k=1}^{m-1}\left(\frac{m}{k}-\frac{m}{k+1}\right)=\sum_{m=2}^n (m-1)=\sum_{m=1}^{n-1} m=\frac{n(n-1)}{2}[/mm]
Ich denke, du wolltest bei der ersten Summe [mm]m=k+1[/mm] schreiben, richtig?
Grüße
Loopi
Es ist mir nicht klar, wie Du auf die Summationsindizes nach dem Gleichheitszeichen in diesem Schritt kommst:
[mm]\sum_{k=1}^n\sum_{m=k+1}^n\frac{m}{k(k+1)}=\sum_{m=2}^n \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m}{k(k+1)}[/mm]
Sorry, falls meine Frage trivial ist, aber ich steh im Moment echt voll auf der Leitung und komm da nicht weiter. Den Rest versteh ich, Gott und vor allem Dir sei Dank!
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> > Ich würde hier die Summationsreihenfolge ändern:
> >
> > [mm]\sum_{k=1}^n\sum_{m=1}^n\frac{m}{k(k+1)}=\sum_{m=2}^n \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m}{k(k+1)}=\sum_{m=2}^n \sum_{k=1}^{m-1}\left(\frac{m}{k}-\frac{m}{k+1}\right)=\sum_{m=2}^n (m-1)=\sum_{m=1}^{n-1} m=\frac{n(n-1)}{2}[/mm]
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> Ich denke, du wolltest bei der ersten Summe [mm]m=k+1[/mm]
> schreiben, richtig?
Ja, klar: dies war ja Deine Ausgangssumme. Ich werde dies in meiner ersten Antwort korrigieren.
>
> Grüße
>
> Loopi
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> Es ist mir nicht klar, wie Du auf die Summationsindizes
> nach dem Gleichheitszeichen in diesem Schritt kommst:
> [mm]\sum_{k=1}^n\sum_{m=k+1}^n\frac{m}{k(k+1)}=\sum_{m=2}^n \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m}{k(k+1)}[/mm]
Vielleicht hift es zur Veranschaulichung eine Tabelle zu skizzieren, bei der die Indexpaare $(k,m)$, über die summiert wird, nur mit einem kleinen Kreuz markiert sind
[mm]\begin{array}{r||c|c|c|c|c|c|}
& 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n\\\hline\hline
1 & & \times & \times & \times & \ldots & \times\\\hline
2 & & & \times & \times & \ldots & \times\\\hline
3 & & & & \times & \ldots & \times\\\hline
\vdots & & & & & & \\\hline
n & & & & & & \\\hline
\end{array}[/mm]
($k$ ist Zeilenindex, $m$ ist Spaltenindex)
Der gegebenen Reihenfolge der Summation entspricht ein Summieren der so markierten Zeilen, einer nach der anderen, von oben nach unten. Das heisst: die innere Summe summiert die $k$-te Zeile, von links nach rechts; die äussere Summe summiert diese Zeilensummen von oben nach unten.
Der vertauschten Reihenfolge der Summation entspricht ein Summieren der so markierten Spalten, einer nach der anderen, von links nach rechts. Das heisst: die innere Summe summiert die $m$-te Spalte, von oben nach unten; die äussere Summe summiert dann diese Spaltensummen von links nach rechts.
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