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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Do 08.01.2015 | | Autor: | just0me0 |
Hallo ihr Lieben,
ich hänge an folgendem Problem:
[mm] \nabla \cdot \nabla [/mm] v = [mm] \Delta [/mm] v.
Für skalare Funktionen ist das klar. Ich hänge aber bei vektoriellen Funktionen.
Das sind meine Definitionen:
v: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}, [/mm] also [mm] v=(v_{1}, v_{2}, v_{3})^{t}
[/mm]
Der Gradient für Vektorfelder (=Jacobimatrix) (Stimmt das???)
[mm] \nabla [/mm] v = [mm] \pmat{
\partial_{1}v_{1} & \partial_{2}v_{1} & \partial_{3}v_{1} \\
\partial_{1}v_{2} & \partial_{2}v_{2} & \partial_{3}v_{2} \\
\partial_{1}v_{3} & \partial_{2}v_{3} & \partial_{3}v_{3} }.
[/mm]
Für einen Tensor 2-ter Stufe, z.B.
A= [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}
[/mm]
ist die Divergenz so definiert
[mm] \nabla \cdot [/mm] A = [mm] \pmat{
\partial_{1}a_{11} + \partial_{2}a_{21} + \partial_{3}a_{31} \\
\partial_{1}a_{12} + \partial_{2}a_{22} + \partial_{3}a_{32} \\
\partial_{1}a_{13} + \partial_{2}a_{23} + \partial_{3}a_{33} }.
[/mm]
Und
[mm] \Delta [/mm] v = [mm] \pmat{
\partial_{1}^{2} v_{1} + \partial_{2}^{2} v_{1} +\partial_{3}^{2} v_{1}\\
\partial_{1}^{2} v_{2} + \partial_{2}^{2} v_{2} +\partial_{3}^{2} v_{2}\\
\partial_{1}^{2} v_{3} + \partial_{2}^{2} v_{3} +\partial_{3}^{2} v_{3} }.
[/mm]
So jetzt haben wir alles zusammen. Wenn ich das aber nun zusammensetze erhalte ich:
[mm] \nabla \cdot \nabla [/mm] v
[mm] =\nabla \cdot \pmat{
\partial_{1}v_{1} & \partial_{2}v_{1} & \partial_{3}v_{1} \\
\partial_{1}v_{2} & \partial_{2}v_{2} & \partial_{3}v_{2} \\
\partial_{1}v_{3} & \partial_{2}v_{3} & \partial_{3}v_{3} }
[/mm]
= [mm] \pmat{
\partial_{1}\partial_{1}v_{1} + \partial_{2}\partial_{1}v_{2} + \partial_{3}\partial_{1}v_{3} \\
\partial_{1}\partial_{2}v_{1} + \partial_{2}\partial_{2}v_{2} + \partial_{3}\partial_{2}v_{3} \\
\partial_{1}\partial_{3}v_{1} + \partial_{2}\partial_{3}v_{2} + \partial_{3 }\partial_{3}v_{3}}
[/mm]
[mm] \not=\Delta [/mm] v
Wo liegt mein Fehler? In den Definitionen? Würde ich die transformierte Jacobimatrix nehmen, funktioniert es. Ist das schon die Antwort? Aber in jeder Literatur, habe ich diese Definition gefunden.
Herzlichen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Do 08.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Vektor Laplace Operator ist NICHT als [mm] \nabla (\nabla [/mm] v) definiert. siehe http://mathworld.wolfram.com/VectorLaplacian.html
Gruß leduart
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