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Hallo, ich hätte da mal ne Frage, bei der ich leider nicht weiterkomm. Wär super, wenn mir jemand helfen könnte.
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Formulieren sie mit Hilfe der Quantorenschreibweise das Gegenteil der Konvergenzbedingung, und zeigen sie damit, dass diese Folgen divergieren:
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] r(-1)^{n} [/mm] mit (r ungleich 0) , [mm] y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{ 2^{n}}
[/mm]
Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Sa 27.11.2004 | | Autor: | taura |
Hi Mario!
Also, das Konvergenzkriterium, das du sicher auch kennst lautet:
[mm]\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \IN: \forall n \ge n_0: [/mm]
[mm] |a_n-a|<\varepsilon[/mm]
Wobei [mm] a_n [/mm] die Folge sei und a der potentielle Grenzwert.
So, also diese Aussage sollst du nun verneinen, das macht man, indem man alle Quantoren umwandelt und die letzte Aussage negiert. In diesem Fall also:
[mm]\exists \varepsilon > 0: \forall n_0 \in \IN: \exists n \ge n_0: [/mm]
[mm]|a_n-a|>\varepsilon[/mm]
Nun versuch doch mal, ob du diese Aussage auf deine Folgen anwenden kannst. Dafür musst du ein bistimmtes [mm] \varepsilon [/mm] finden, für das du die Aussage zeigen kannst.
Hoffe ich konnte dir helfen :)
Gruß Biggi
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Danke Biggi,
jetzt hats geschnaggelt.
Gruß
Mario
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Taura,
> Hi Mario!
>
> Also, das Konvergenzkriterium, das du sicher auch kennst
> lautet:
>
> [mm]\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \IN: \forall n \ge n_0:[/mm]
>
> [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
>
> Wobei [mm]a_n[/mm] die Folge sei und a der potentielle Grenzwert.
>
> So, also diese Aussage sollst du nun verneinen, das macht
> man, indem man alle Quantoren umwandelt und die letzte
> Aussage negiert. In diesem Fall also:
> [mm]\exists \varepsilon > 0: \forall n_0 \in \IN: \exists n \ge n_0:[/mm]
>
> [mm]|a_n-a|>\varepsilon[/mm]
Jein. Es ist zu hier zeigen:
[mm]\red{\forall a\in \IR}: \exists \varepsilon=\varepsilon_a > 0: \forall n_0 \in \IN: \exists n \ge n_0:[/mm]
[mm]|a_n-a|\red{\ge}\varepsilon[/mm]
Siehe auch  Konvergenz!
Das [mm] $\red{\forall a \in \IR}$ [/mm] ist hier eine kleine, aber nicht unwesentliche Ergänzung! Das [mm] $\red{\ge}$ [/mm] habe ich nur deshalb hier geändert, weil es halt die Verneinung von $<$ ist. Man kann hier aber durchaus auch $>$ stehen lassen!
Viele Grüße,
Marcel
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Wär super, wenn mir jemand die Lösung hätte, dann der Ansatz bringt mich leider auch nicht weiter.
Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wir rechnen dir die erste Aufgabe mal vor, die zweite wirst du dann wohl selber hinbekommen.
Es sei zunächst $r>0$.
Ich wähle [mm] $\varepsilon:=r>0$.
[/mm]
Dann gilt für $a<0$ und alle geraden $n$:
[mm] $|x_n [/mm] - a| = |r-a| > r = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nun nehmen wir $a [mm] \ge [/mm] 0$ an. Dann gilt für alle ungeraden $n$:
[mm] $|x_n [/mm] - a| = |-r-a| [mm] \ge [/mm] r = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Mit der Charakterisierung von Marcel folgt die Behauptung.
Der Fall $r<0$ ist analog zu behandeln.
Liebe Grüße
Stefan
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