Distributivgesetz in \IZ < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise das Distributivgesetz in [mm] \IZ [/mm] unter der Voraussetzung, dass es in [mm] \IN [/mm] gilt.
Beweise das Distributivgesetz auch in [mm] \IN [/mm] |
Ich tue mich mit dem Beweis schwer und bräuchte Hilfe !
Die Definitionen a * (b + c) = a * b + a * c (linksdistributiv)
und (a + b) * c = a * c + b * c (rechtsdistributiv)
sowie die Benutzung von Zahlenpaaren:
(Rechtsdistributivität):
([(a, b)] + [(c, d)]) * [(e, f)] = ([(a, b)] * [(e, f)]) + ([(c, d)] * [(e, f)])
konnte ich verstehen.
Den Beweis muss ich bestimmt mit der vollständigen Induktion führen. Nur finde ich keinen Anfang. Im Induktionsanfang muesste ich ja einen Faktor (z.B. a = 0, oder bei den Zahlenpaaren [(c, d)] = 0) auf Null setzen und und im Induktionsschluss um die Zahl 1 ergänzen, damit gezeigt wird, dass es für alle Elemente der Menge gilt).
Gebt mir bitte einen Tipp, ansonsten gibt´s bestimmt Punktabzüge, da die Frage nicht beantwortet wurde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg Schorsch aus Hamburg
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Den Beweis der Gültigkeit des Distributivgesetzes in [mm] \IZ [/mm] unter Berücksichtigung, dass es in [mm] \IN [/mm] gilt, sowie der Beweis der Gültigkeit auch in [mm] \IN, [/mm] kann man doch mit der vollständigen Induktion führen, oder ?
Habe auf meine letzte Frage leider noch keine Antwort bekommen und habe wegen der Abgabe am 18.Dezember die Fragen schon zu beantworten versucht:
DG in [mm] \IZ: [/mm] Mit Zahlenpaaren beschrieben. zu beweisen ist die Aussage:
für alle (a, b), (c, d), (e, F) [mm] \in \IZ [/mm] gilt
[(a, b)] * ([(c, d)] + [(e, f)]) = [(a, b)] * [(c, d)] + [(a, b)] * [(e, f)]
Beweis durch Induktion nach [(e, f)]
IA Induktionsanfang: [(e, f)] = 0
[(a, b)] * ([(c, d)] + 0) = [(a, b)] * [(c, d)]
IV Induktionsvoraussetzung:
für alle (a, b), (c, d), (e, F) [mm] \in \IZ [/mm] gilt
[(a, b)] * ([(c, d)] + [(e, f)]) = [(a, b)] * [(c, d)] + [(a, b)] * [(e, f)]
IS Induktionsschluss: [(e, f)] [mm] \to [/mm] s [(e, f)] (Nachfolger von, also + 1)
zeige, dass für alle [(a, b)], [(c, d)], [(e, F)] [mm] \in \IZ [/mm] gilt
[(a, b)] * ([(c, d)] + s [(e, f)]) = [(a, b)] * [(c, d)] + [(a, b)] * s [(e, f)]
[(a, b)] * ([(c, d)] + s [(e, f)]) = [(a, b)] * s ([(c, d)] + [(e, f)]) =
nach Ausmultiplizieren ist dies
[(a, b)] * [(c, d)] + [(a, b)] * [(e, f)] + [(a, b)] =
[(a, b)] * [(c, d)] + [(a, b)] * s [(e, f)]
Damit ist die Aussage für den Nachfolger bewiesen und gilt somit für alle Elemente von [mm] \IZ.
[/mm]
Den Beweis für die Gültigkeit in [mm] \IN [/mm] habe ich analog, aber ohne Zahlenpaare durchgeführt, da ja alles natürliche Zahlen sind:
zu beweisen ist die Aussage für alle a,b,c [mm] \in \IN
[/mm]
Beweis durch Induktion nach c
IA Induktionsanfang: c = 0 : a * (b + 0) = a * b (oder ab)
ab + a0 = ab + 0 = ab (es gilt die Definition der Multiplikation in [mm] \IN [/mm] und [mm] \IZ: [/mm] a * 0 = 0 für alle a [mm] \in \IZ)
[/mm]
IV Induktionsvoraussetzung:
für alle a,b,c [mm] \in \IN: [/mm] a * (b + c) = a * b + b * c (oder = ab + ac)
IS Induktionsschluss: c [mm] \to [/mm] s (c) = Nachfolger von c
zeige für alle a,b,c [mm] \in \IN: [/mm] a * (b + s ( c )) = ab + as (c )
a * (b + s ( c )) = as (b + c) ( a * (s (b + c) ist das Produkt von a mit dem Nachfolger der Summe (b + c)
= ab + ac + a = ab + a * s ( c )
Damit steht fest, dass die Aussage für den nachfolger von c gilt, also gilt sie für alle c [mm] \in \IN
[/mm]
Besser habe ich es nicht hinbekommen. Kann mir jemand sagen, ob der Beweis so schlüssig ist ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg Schorsch aus Hamburg
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Hallo,
sicher wunderst Du Dich, warum Du so lange ohne Antwort bleibst.
Man kann zu solchen Aufgaben nur sehr schwer etwas sagen, wenn man nicht die Vorlesung/genauen Unterlagen kennt, weil es hier sehr darauf ankommt, was auf welche Art eingeführt wurde und was bereits dran war, denn man muß sich beim Beweisen permanent auf diese Dinge berufen, und man muß sie kennen, um über richtig oder falsch befinden zu können.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Schorsch56 |
Liebe Angela,
vielen Dank trotzdem.
Die Lösung der Aufgaben sollten in Form eines Forschungsheftes "Untersuchung der Eigenschaften der ganzen Zahlen" münden.
Dieses Forschungsheft (Abgabe war am 18.Dezember) wird als 2.Klausur gewertet.
Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion, welches ja aus den PEANO-Axiomen begründet wurde, wurde im Unterricht kurz in Bezug auf die Addition von natürlichen Zahlen behandelt.
Alles weitere sollte jeder Schüler, so auch mein 16-jähriger Sohn Thomas, selbst ergründen. Man durfte dabei das Internet nutzen.
Da ich meinem Sohn "etwas" behilflich sein wollte und mich das Ganze auch interessierte, stieß ich auf dieses tolle Forum.
Mein Sohn hat den Großteil der Dinge auch begreifen können. Er hat aber in einem Nachwort in seinem Forschungsheft darauf hingewiesen, dass es vielleicht gut wäre, die Ergebnisse der Forschungshefte der Schüler im Unterricht nachzuarbeiten.
Die Aufgaben sind im Matheergänzungskurs der Klasse 11 eines Aufbaugymnasiums entstanden. Im Frühjahr wird das Thema "Untersuchung Linearer Funktionen" sein.
Mein Sohn hat vor, Mathematik als Leistungskurs zu belegen. An der Realschule, von der er im Herbst zum Aufbaugymnasium wechselte, hat er gerade in Mathe eine gute Grundlage erhalten und steht auf einer guten 2.
Ich denke, dass mein Sohn und ich auch weiterhin auf dieses Forum zurückgreifen werden. Vielleicht können wir beim Stöbern in den verschiedenen Foren auch auf Aufgaben treffen, die von uns beantwortet werden können.
mfg Georg und Thomas Pawel aus Hamburg
Frohe Weihnacht und alles Gute für 2008
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Eliss |
Hallo Schorsch,
ich habe die aufgabe erst jetzt gelesen, sonst hätte ich früher geantwortet!
Falls weitere Probleme auftreten und es hier keine Antwort gibt, auf Wikipedia, www.wikipedia.org (deutsche Version!!), gibts auch mathematische Formeln inklusive Beweis. Dort einfach Suchbegriff(Formel) eingeben und dann erscheint der jeweilige Artikel.
eliss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 24.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 17.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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