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| Aufgabe | Sei [mm] f\in L_{1}^{loc} [/mm] , (d.h. in der Menge aller lokal integrierbaren Funktionen [mm] f:\IR^{n}\to\IR). [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] T_{f}: D(\IR^{n})\to\IC [/mm] , [mm] T_{f}[\phi]:=\integral_{\IR^{n}}^{}{f(x)\phi(x) d^{n}x} [/mm]
eine Distribution ist. (D ist der Raum der Testfunktionen) |
Wir haben als Tipp schon bekommen, dass man hier 3 Sachen zeigen muss:
1) warum existiert [mm] \integral_{\IR^{n}}^{}{f(x)\phi(x) d^{n}x}? [/mm] Hier müsste man also zeigen, dass sowohl f als auch [mm] \phi [/mm] integrierbar sind.
2) [mm] T_{f} [/mm] ist linear
3) [mm] (D^{a}\phi_{v})_{v\in\IN} [/mm] , [mm] a\in\IN^{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen [mm] D^{a}\phi [/mm]
Es genügt hier für die Stetigkeit von [mm] \phi [/mm] den Multiindex [mm] a=(0,...,0)\in\IN^{n} [/mm] zu betrachten.
Daraus kann man folgern: [mm] \limes_{v\rightarrow\infty}T(\phi_{v})=T(\phi)
[/mm]
Soweit zu den Tipps.
Ich hab mir das schon ein paar mal angeschaut und kann hier irgendwie nicht viel draus schließen...
Kann mir vielleicht jemand helfen diese Tipps umzusetzen?
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Hi,
> Sei [mm]f\in L_{1}^{loc}[/mm] , (d.h. in der Menge aller lokal
> integrierbaren Funktionen [mm]f:\IR^{n}\to\IR).[/mm] Zeigen Sie,
> dass
>
> [mm]T_{f}: D(\IR^{n})\to\IC[/mm] ,
> [mm]T_{f}[\phi]:=\integral_{\IR^{n}}^{}{f(x)\phi(x) d^{n}x}[/mm]
> eine Distribution ist. (D ist der Raum der Testfunktionen)
> Wir haben als Tipp schon bekommen, dass man hier 3 Sachen
> zeigen muss:
>
> 1) warum existiert [mm]\integral_{\IR^{n}}^{}{f(x)\phi(x) d^{n}x}?[/mm]
> Hier müsste man also zeigen, dass sowohl f als auch [mm]\phi[/mm]
> integrierbar sind.
>
Hattet ihr schon die hölder-ungleichung? braucht man nicht unbedingt, macht das ganze aber leichter.
zunächst mal hat jedes [mm] $\phi$ [/mm] kompakten träger, du kannst also das integral auf diese kompakte menge einschränken.
da f in [mm] $L^1_{loc}$ [/mm] ist, ist f auf der trägermenge integrierbar, also [mm] $L^1$. $\phi$ [/mm] ist beschränkt also [mm] $L^\infty$. [/mm] Nach Hölder existiert das integral. Ohne hölder kannst du auch einfach [mm] $\phi$ [/mm] aus dem integral ziehen und nach oben abschätzen, kommt dasselbe raus.
> 2) [mm]T_{f}[/mm] ist linear
folgt trivial aus der linearität des integrals.
>
> 3) [mm](D^{a}\phi_{v})_{v\in\IN}[/mm] , [mm]a\in\IN^{n}[/mm] konvergiert
> gleichmäßig gegen [mm]D^{a}\phi[/mm]
> Es genügt hier für die Stetigkeit von [mm]\phi[/mm] den Multiindex
> [mm]a=(0,...,0)\in\IN^{n}[/mm] zu betrachten.
> Daraus kann man folgern:
> [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}T(\phi_{v})=T(\phi)[/mm]
betrachte
[mm] $|T(\phi_v)-T(\phi)|$
[/mm]
du kannst dann ähnlich wie bei 1) das integral durch hölder abschätzen gegen [mm] $C\|\phi_v-\phi\|_\infty$. [/mm] dieser term geht gegen 0 mit [mm] $v\to \infty$. [/mm] das müsste analog so für alle ableitungen gehen.
gruß
matthias
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Danke Mathias!
Habs jetzt einigermaßen hingekriegt.
MfG jentowncity
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