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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 02.11.2008 | | Autor: | martin7 |
| Aufgabe | | Diskutieren Sie die Funktion [mm] \bruch{x-a}{x-2} [/mm] ( in Abhängigkeit von a [mm] \in \IR [/mm] ). Stetigkeit, Montonie, Skizze |
Ich weiß hier überhaupt nicht wie ich anfangen soll mit meinen Überlegungen, da keinerlei Angaben zu x vorhanden sind. Deshalb muss x eine Konstante sein denke ich.
Die Stetigkeit könnte man doch mit der Ableitung beweisen oder?
Bin für jeden Hinweis dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Ich weiß hier überhaupt nicht wie ich anfangen soll mit
> meinen Überlegungen, da keinerlei Angaben zu x vorhanden
> sind. Deshalb muss x eine Konstante sein denke ich.
NEIN! x ist deine Variable und a ist ein (fester) Parameter. Das heißt, a ist für dich konstant.
>
> Die Stetigkeit könnte man doch mit der Ableitung beweisen
> oder?
Nein, Stetigkeit untersucht man eigentlich, indem man den rechts- und linksseitigen Limes an einem Punkt [mm] x_0 [/mm] untersucht. Sprich, du gehst von links und rechts auf deinen Punkt [mm] x_0 [/mm] zu, und schaust, wie sich dein f(x) verhält. Werden beide f(x) gleich, und existiert der Wert [mm] f(x_0) [/mm] selbst auch noch und ist er genauso groß, dann ist die Funktion am Punkt [mm] x_0 [/mm] stetig.
Praktisch solltest du bereits wissen, für welches x es bei deiner Funktion Probleme geben kann. Paß dabei auf a=2 auf, dann tritt ein Spezialfall auf (was genau?)
Die Monotonie zeigst du mit der Ableitung.
>
> Bin für jeden Hinweis dankbar!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 02.11.2008 | | Autor: | martin7 |
Danke erstmal für die Hilfe!
Ich habe mir jetzt die Ableitung ausgerechnet:
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] f(x) = [mm] \bruch{1}{x+2} [/mm] + [mm] \bruch{x-a}{(x+2)^2}
[/mm]
Kann ich jetzt auf Grund des vorhandenseins der Ableitung auf Monotonie schließen?
Der Fall x = -2 ergibt keine Lösung auf Grund der Division durch 0
Ich verstehe jetzt auch, dank deines Hinweises, dadurch, dass ich bei x = -2 eine Art Sprungstelle habe die Funktion nicht stetig sein kann. Es muss eine Art Hyperbel sein. Wie kann ich eine Skizze anfertigen? Einfach ein beliebiges a annehmen zB a=1 und zeichnen?
Vielen Dank für die Hilfe!
Bin schon sehr viel weiter!
Lg
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 So 02.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke erstmal für die Hilfe!
>
> Ich habe mir jetzt die Ableitung ausgerechnet:
>
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] f(x) = [mm]\bruch{1}{x+2}[/mm] +
> [mm]\bruch{x-a}{(x+2)^2}[/mm]
Diese Ableitung stimmt leider nicht.
[mm] f_{a}(x)=\bruch{\overbrace{x-a}^{u}}{\underbrace{x-2}_{v}} [/mm]
Mit der Quotientenregel abgeleitet ergibt sich:
[mm] f_{a}(x)=\bruch{\overbrace{1}^{u'}*\overbrace{(x-2)}^{v}-\overbrace{(x-a)}^{u}\overbrace{1}^{v'}}{\underbrace{(x-2)²}_{v²}} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{x-2}-\bruch{x-a}{(x-2)²}
[/mm]
>
> Kann ich jetzt auf Grund des vorhandenseins der Ableitung
> auf Monotonie schließen?
Nein. Hier brauchst du die Werte der Ableitung. Ist f'(x)>(<)0 ist die Funktion an dieser Stelle streng monoton steigend (fallend)
Also löse mal die Gleichung
[mm] \bruch{1}{x-2}-\bruch{x-a}{(x-2)²}>0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x>...
Damit hast du dann den Bereich, in dem [mm] f_{a}(x) [/mm] streng monoton steigend ist.
>
> Der Fall x = -2 ergibt keine Lösung auf Grund der Division
> durch 0
Das ist dann eine sogenannte Definitionslücke. Die Frage ist, ob mit oder ohne Vorzeichenwechsel
>
> Ich verstehe jetzt auch, dank deines Hinweises, dadurch,
> dass ich bei x = -2 eine Art Sprungstelle habe die Funktion
> nicht stetig sein kann. Es muss eine Art Hyperbel sein. Wie
> kann ich eine Skizze anfertigen? Einfach ein beliebiges a
> annehmen zB a=1 und zeichnen?
Bestimme mal die Nullstellen, die Extrem- und Wendepunkte (Unter Umständen in Abhängigkeit von a) sowie die Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x-a}{x-2}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{x-a}{x-2}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow2^{+}}\bruch{x-a}{x-2}
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow2^{-}}\bruch{x-a}{x-2}
[/mm]
Damit kannst du dann für einige Werte von a die Funktion einzeichnen.
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
> Bin schon sehr viel weiter!
>
> Lg
> Martin
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 So 02.11.2008 | | Autor: | martin7 |
[mm] \bruch{1}{x-2}-\bruch{x-a}{(x-2)²}>0 /*(x-2)^2
[/mm]
1*(x-2)-(x-a)<0
x-2-x+a<0
a<2
für x finde ich hier keine Lösung weil es sich ja mit -x aufhebt
daraus folgt --> bei a < 2 ist diese Funktion monoton steigend
das gleiche Problem habe ich wenn ich versuche den Extremwert zu ermitteln f'(x) = 0 und nach x auflösen
Die Definitionslücke ist nur bei -2, da die Funktion das Vorzeichen nicht ändert
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x-a}{x-2} [/mm] =1
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{x-a}{x-2} [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow2^{+}}\bruch{x-a}{x-2} [/mm] = DIVISION DURCH NULL
und $ [mm] \limes_{x\rightarrow2^{-}}\bruch{x-a}{x-2} [/mm] = [mm] \bruch{-2-a}{-4}
[/mm]
um den Wendepunkt zu finden:
[mm] f''(x)=0=\bruch {-2}{x-2}^2 [/mm] +2* [mm] \bruch {x-a}{x-2}^3
[/mm]
---> nach x auflösen funktioniert wieder nicht
und a ergibt wieder 2
Was aber verstanden habe ist, dass ich keine generelle Funktion hier zeichnen kann sondern zB für a=2, a=3, a=4 .... etc. eine Funktion zeichnen kann.
Aber es ist mit Sicherheit eine Hyberbel.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 So 02.11.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> [mm]\bruch{1}{x-2}-\bruch{x-a}{(x-2)²}>0 /*(x-2)^2[/mm]
>
> 1*(x-2)-(x-a)<0
wieso drehst du denn plötzlich das Ungleichzeichen um?
> x-2-x+a<0
> a<2
>
> für x finde ich hier keine Lösung weil es sich ja mit -x
> aufhebt
>
> daraus folgt --> bei a < 2 ist diese Funktion monoton
> steigend
richtig: fallend. Und für a > 2 ?
> das gleiche Problem habe ich wenn ich versuche den
> Extremwert zu ermitteln f'(x) = 0 und nach x auflösen
Ja, daher hat die Funktion keine lokalen Extrema.
> Die Definitionslücke ist nur bei -2, da die Funktion das
> Vorzeichen nicht ändert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x-a}{x-2}[/mm] =1
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{x-a}{x-2}[/mm] = 1
> [mm]\limes_{x\rightarrow2^{+}}\bruch{x-a}{x-2}[/mm] = DIVISION
> DURCH NULL
> und $ [mm]\limes_{x\rightarrow2^{-}}\bruch{x-a}{x-2}[/mm] =
> [mm]\bruch{-2-a}{-4}[/mm]
für $a [mm] \ne [/mm] 2$ hat der Graph eine Polstelle mit VZW bei 2, für a=2 ist es eine stetig hebbare Lücke,
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 So 02.11.2008 | | Autor: | eumel |
hi martin7,
x ist niemals eine konstante..... wär auch bisschen schwachsinnig, dann hättest du nämlich nur ne gerade dort stehen als funktion, wenn du annehmen würdest dein a würde alle reellen zahlen annehmen.... betrachte die funktion für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit ausnahme einer zahl für den definitionsbereich......
stetigkeit kann man ua mit der epsilon-delta-definition zeigen, musst nur abschätzen können; oder du argumentierst einfach gut (verkettung von stetigen funktionen bla bla bla....)
gruß
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